分析方法

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分析方法，是指實驗室對樣品進行分析檢驗的依據。其中以科學、技術、實踐經驗和綜合成果為基礎，經有關方面協商一致，由主管機構批准，以特定形式發布，作為共同遵守的準則和依據的分析方法稱為標準方法，或稱方法標準。標準方法在技術上並不一定是最先進的，準確度也可能不是最高的，而是在一般條件下簡便易行，具有一定可靠性，經濟實用的成熟方法。標準方法的內容包括方法的類別、適用範圍、原理、試劑或材料、儀器或設備、分析或操作、結果的計算、允許偏差等。標準方法常作為仲裁方法，亦稱權威方法。標準方法按照適用範圍可以分為不同的級別：國際標準、區域標準、國家標準、行業標準、地方標準和企業標準等。土壤分析中常用到的標準方法多為國際標準、國家標準和行業標準。

1內容簡介 2作品目錄

內容簡介

《分析方法（修訂版）（英文版）》在介紹實分析的時候結合詳盡、廣泛的闡釋，使得讀者完全理解分析基礎和方法。目次：基礎；實數體系結構；實線拓撲；連續函數；微分學；積分學；序列和函數級數；超函數；歐拉空間和矩陣空間；歐拉空間上的微分計算；常微分方程；傅里葉級數；隱函數、曲線和曲面；勒貝格積分；多重積分。讀者對象：數學專業的研究生以及相關的科研人員。

分析方法

數學主要講述思想的方法，深入理解數學比掌握一大堆的定理、定義、問題和技術顯得更為重要。理論和定義共同作用。

作品目錄

Preface
1 Preliminaries	2 Construction of the Real Number System	3 Topology of the Real Line	4 Continuous Functions	5 Differential Calculus	6 Integral Calculus
1.1 The Logic of Quantifiers	2.1 Cauchy Sequences	3.1 The Theory of Limits	4.1 Concepts of Continuity	5.1 Concepts of the Derivative	6.1 Integrals of Continuous Functions
1.1.1 Rules of Quantifiers	2.1.1 Motivation	3.1.1 Limits, Sups, and Infs	4.1.1 Definitions	5.1.1 Equivalent Definitions	6.1.1 Existence of the Integral
1.1.2 Examples	2.1.2 The Definition	3.1.2 Limit Points	4.1.2 Limits of Functions and Limits of Sequences	5.1.2 Continuity and Continuous Differentiability	6.1.2 Fundamental Theorems of Calculus
1.1.3 Exercises	2.1.3 Exercises	3.1.3 Exercises	4.1.3 Inverse Images of Open Sets	5.1.3 Exercises	6.1.3 Useful Integration Formulas
1.2 Infinite Sets	2.2 The Reals as an Ordered Field	3.2 Open Sets and Closed Sets	4.1.4 Related Definitions	5.2 Properties of the Derivative	6.1.4 Numerical Integration
1.2.1 Countable Sets	2.2.1 Defining Arithmetic	3.2.1 Open Sets	4.1.5 Exercises	5.2.1 Local Properties	6.1.5 Exercises
1.2.2 Uncountable Sets	2.2.2 The Field Axioms	3.2.2 Closed Sets	4.2 Properties of Continuous Functions	5.2.2 Intermediate Value and Mean Value Theorems	6.2 The Riemann Integral
1.2.3 Exercises	2.2.3 Order	3.2.3 Exercises	4.2.1 Basic Properties	5.2.3 Global Properties	6.2.1 Definition of the Integral
1.3 Proofs	2.2.4 Exercises	3.3 Compact Sets	4.2.2 Continuous Functions on Compact Domains	5.2.4 Exercises	6.2.2 Elementary Properties of the Integral
1.3.1 How to Discover Proofs	2.3 Limits and Completeness	3.3.1 Exercises	4.2.3 Monotone Functions	5.3 The Calculus of Derivatives	6.2.3 Functions with a Countable Number of Discon-tinuities
1.3.2 How to Understand Proofs	2.3.1 Proof of Completeness	3.4 Summary	4.2.4 Exercises	5.3.1 Product and Quotient Rules	6.2.4 Exercises
1.4 The Rational Number System	2.3.2 Square Roots		4.3 Summary	5.3.2 The Chain Rule	6.3 Improper Integrals
1.5 The Axiom of Choice	2.3.3 Exercises			5.3.3 Inverse Function Theorem	6.3.1 Definitions and Examples
	2.4 Other Versions and Visions			5.3,4 Exercises	6.3.2 Exercises
	2.4.1 Infinite Decimal Expansion			5.4 Higher Derivatives and Taylor's Theorem	6.4 Summary
	2.4.2 Dedekind Cuts			5.4.1 Interpretations of the Second Derivative
	2.4.3 Non-Standard Analysis			5.4.2 Taylor's Theorem
	2.4.4 Constructive Analysis			5.4.3 L'HSpital's Rule
	2.4.5 Exercises			5.4.4 Lagrange Remainder Formula
	2.5 Summary			5.4.5 Orders of Zeros
				5.4.6 Exercises
				5.5 Summary
7 Sequences and Series of Functions	8 Transcendental Functions	9 Euclidean Space and Metric Spaces	10 Differential Calculus in Euclidean Space	14 The Lebesgue Integral
7.1 Complex Numbers	8.1 The Exponential and Logarithm	9.1 Structures on Euclidean Space	10.1 The Differential	14.1 The Concept of Measure
7.1.1 Basic Properties of C	8.2 Trigonometric Functions	9.2 Topology of Metric Spaces	10.2 Higher Derivatives	14.2 Proof of Existence of Measures
7.1.2 Complex-Valued Functions	8.3 Summary	9.3 Continuous Functions on Metric Spaces	10.3 Summary	14.3 The Integral
7.1.3 Exercises		9.4 Summary	11 Ordinary Differential Equations	14.4 The Lebesgue Spaces L1 and L2
7.2 Numerical Series and Sequences			11.1 Existence and Uniqueness	14.5 Summary
7.2.1 Convergence and Absolute Convergence			11.2 Other Methods of Solution	15 Multiple Integrals
7.2.2 Rearrangements			11.3 Vector Fields and Flows	15.1 Interchange of Integrals
7.2.3 Summation by Parts			11.4 Summary	15.2 Change of Variable in Multiple Integrals
7.2.4 Exercises			12 Fourier Series	15.3 Summary
7.3 Uniform Convergence			12.1 Origins of Fourier Series	Index
7.3.1 Uniform Limits and Continuity			12.2 Convergence of Fourier Series
7.3.2 Integration and Differentiation of Limits			12.3 Summary
7.3.3 Unrestricted Convergence			13 Implicit Functions, Curves, and Surfaces
7.3.4 Exercises			13.1 The Implicit Function Theorem
7.4 Power Series			13.2 Curves and Surfaces
7.4.1 The Radius of Convergence			13.3 Maxima and Minima on Surfaces
7.4.2 Analytic Continuation			13.4 Arc Length
7.4.3 Analytic Functions on Complex Domains			13.5 Summary
7.4.4 Closure Properties of Analytic Functions
7.4.5 Exercises
7.5 Approximation by Polynomials
7.5.1 Lagrange Interpolation
7.5.2 Convolutions and Approximate Identities
7.5.3 The Weierstrass Approximation Theorem
7.5.4 Approximating Derivatives
7.5.5 Exercises
7.6 Eouicontinuity
7.6.1 The Definition of Equicontinuity
7.6.2 The Arzela-Ascoli Theorem
7.6.3 Exercises
7.7 Summary

邏輯意義上的分析方法

分析與綜合是哲學、心理學中探討的較為深透的方法。在這裡，主要從邏輯學的角度加以認識。

1.什麼是分析

所謂分析，就是把對象的整體分解為各個部分加以考察的方法[1]。客觀事物整體與部分的關係是分析方法的客觀基礎。整體是由它的各個組成部分構成的，客觀事物在一定條件下分解為它的各個組成部分，事物的各種屬性、方面或關係從不同方面表現了事物的整體性。人的大腦所具有的分析功能是分析的主觀條件。客觀事物的多方面屬性的信息通過不同的感官渠道接收；人的思維能夠把這些信息分成更細小的單元。客觀事物的可分性和人腦的分析功能使分析方法成為人們勞動實踐的方法和思維方法。人類最初在取食野果、解剖野獸、分食獸肉等勞動過程中，就學會了分析。恩格斯指出：“一個果核的剖開已是分析的開端。”[2]人們在勞動中對客觀對象的分析現象，以攜帶信息的形象反映到思維中，導致了思維對形象的分析。思維中的分析是由想象完成的。在想象中，把一個事物的整體分為若干部分、把一個過程分為若干階段、把一個系統分成若干個子系統或要素等等都屬於分析。

分析方法是思維常用的方法，但是作為思維科學的邏輯學長期以來沒有將這種思維方法納入自己的研究範圍。亞里士多德的傳統邏輯主要關注“s是p”這樣的直言判斷，較少顧及其他命題；現代邏輯著眼於各種邏輯形式的構造，但卻沒有構造出分析方法的邏輯形式。因此，邏輯學還不能解釋由分析所構成的思維現象。由分析所構成的命題在日常思維和語言中都是大量存在的。例如，“一米是三尺”就是一個由分析所構成的命題。它應當解釋為：一米可以分成三個一尺或一米由三個一尺構成。數學中，與之類似的如“5=3+2”、“6=3×2”等也都是由分析所構成的命題。從中不難看出，數學中，加、減、乘、除、乘方、開方的運算，都是分析方法和與之相對應的綜合方法的運算。

人類的思維實踐創造了眾多的分析方法，這些分析方法可以從不同的角度進行分類。邏輯學上區分了分解與劃分。

（1）分解

分解是對具體事物的分析。將事物的“一個整體分成它的各個組成部分”[3]就是分解。分解是生活實踐中用得最多的分析。其中又有靜態分析和動態分析的區分。將一個處於相對靜止狀態中的對象整體分解為部分，稱為靜態分析，也稱橫向分析。例如，把完整的動物機體分解為它的器官、組織、細胞等便是靜態分析。事物都是運動變化的。一個事物運動變化的過程也可以看作一個整體。將一個事物運動變化的過程分為時間上的各個階段，稱為動態分析，也稱縱向分析。列寧說過：“如果不把不間斷的東西割斷，不使活生生的東西簡單化、粗造化，不加以割碎，不使之僵化，那麼我們就不能想象、表達、測量、描述運動。”例如，把恆星演化的全過程分解為引力收縮階段、主序星階段、紅巨星階段和高密恆星階段，就屬於動態分析。此外，還有定性分析與定量分析的區分。定性分析是對事物的質的分析，確定事物具有或不具有某種屬性，指明事物是什麼或不是什麼。例如，蘋果的形狀是圓的、顏色是紅的、味道是酸的，便屬於這種類型。這種對於事物屬性的分析與抽象存在密切的關係。事物的某一屬性一旦被分離出來，抽象就開始了。定量分析是對事物的量的分析，包括對事物組成成分的數量、事物發展的數量分析。例如，通過對水的定量分析，可以得知水是由兩個氫原子與一個氧原子構成，在攝氏0度到100度之間保持液體狀態。無論是靜態分析、動態分析，還是定性分析、定量分析，都能作深層次的分析。將事物構成的複雜系統分解為各個因素、方面、屬性或子系統，稱為系統分析。如進行一項複雜的工程建設，事先需要分析它的各個組成部分，還要分析各個部分相互聯繫、相互作用的特點，它的功能特點，它在各種外界條件作用下所表現出來的特點等等，如此才能為工程設計提供各方面的依據。

（2）劃分

劃分是邏輯學上對概念的分析。傳統邏輯一般認為，劃分是明確概念外延的邏輯方法，只涉及概念的外延。這種看法是有片面性的。斯多葛學派早就認識到，可以根據一定的質進行劃分，例如將東西劃分為好的、不好的。這種劃分顯然是內涵上的劃分。事實上，劃分任何概念都要以一定的屬性作根據，這就意味著首先對概念的內涵作出分析，然後協同分析概念的相應外延。例如“人”這一概念，其內涵以性別為根據，分析為“男性”與“女性”，相應的外延分析為“男人”與“女人”，從而實現了對“人”這一概念的劃分。所以，劃分也是一種系統分析，只不過是對概念結構系統中的內涵與外延所作的協同分析。“劃分必須是相稱的”的規則，正是“整體等於部分之和”這一分析原理的運用。

除此之外，對命題也可以進行分析。例如，全稱命題由單稱命題構成，因而可以分析出一個個單稱命題。演繹推理由一般推出個別，由全稱命題推導單稱命題來，實際上是對命題的一種分析運用。關於這一論題將在“演繹方法”一文中闡述。

這些不同名目的分析都是對事物整體的不同角度、不同方式、不同程度的分析。

2.分析所構成的邏輯關係

事物的整體都是有機的構成，事物內部中各個部分之間的聯繫是錯綜複雜的。思維中的分析是對事物反映到人腦中的信息所作的分析，因此能夠不為事物構成的有機性和複雜性所困。在那裡，任何難以分解的複雜事物都可以輕而易舉地加以分析。例如，一個人的機體可以分析為五官、四肢，分析為骨骼系統、肌肉系統、神經系統、血液系統等等；“一尺之棰，日取其半，萬世無竭”，可以分析到分子、原子或更細小的粒子。思維的無形之刀在分析這些事物時，不會掉下一滴血液，不會散落一點渣沫，不會損失任何信息。被分析的部分也很容易綜合還原，且不留下任何痕迹。邏輯學在考察思維的分析時，也不再考慮事物構成的有機性與複雜性，它只考慮分析所構成的純粹的邏輯關係，就像物理學研究運動規律時不考慮摩擦一樣。分析所得到的純粹邏輯關係是整體與部分的關係。被分析對象的整體稱之為分析的母項，分析所得到的部分稱之為分析的子項。在《想象的邏輯作用》[4]一文中曾經提出，一個事物的整體無論做何種方式、何種角度、何種程度的分析，它所造成的整體與部分的邏輯關係都是一致的，即：整體等於部分之和，或者母項等於子項之和。一個人的身體等於他的各部分肢體之和，一個水分子等於兩個氫原子與一個氧原子之和，一個集合等於它的元素之和，一個概念的外延等於它的各個子概念外延之和。用邏輯形式表示，即:

s=a+b+c+n

其中a、b、c是對象整體s中分析出來的確定部分，n是s中除a、b、c之外的其餘部分。公式所體現的關係，是分析方法所構成的基本關係，在邏輯中屬於比較關係中的等於關係，其命題屬於相等關係的命題，並服從相等關係的邏輯運算。任何名目的分析都服從整體等於部分之和的規律。

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