布爾值

在邏輯中，真值或邏輯值是指示一個陳述在什麼程度上是真的。在計算機編程上多稱作布爾值。

釋義

在經典邏輯中，唯一可能的真值是真和假。但在其他邏輯中其他真值也是可能的: 模糊邏輯和其他形式的多值邏輯使用比簡單的真和假更多的真值。

在代數上說，集合 {真，假} 形成了簡單的布爾代數。可以把其他布爾代數用作多值邏輯中的真值集合，但直覺邏輯把布爾代數推廣為 Heyting代數。

在 topos理論中，topos 的子對象分類器接管了真值集合的位置。

定義固定一個完全布爾代數B和一階語言L，後者由一組常量符號、函數符號和關係符號構成。L的布爾值模型因此就由全集M，它是元素（或名字）的集合，和對這些符號的釋義組成。特別是，這個模型必須為L的每個常量符號指派一個M的元素，並為L的每個n-元函數符號f和n-元組指揮的每一個指派M的元素，這個模型必須為項 f(a0,...,an-1)指派M的元素。

關係符號和等式的釋義是更加複雜的：對M每對元素a，b，模型必須為表達式a=b指派一個真值||a=b||；這個真值取自B。類似的，對於L的每個n-元關係符號R和n-元組中的每一個指派M的元素，這個模型必須指派B的一個元素為||R(a0,...,an-1)||的真值。

需要寫些文字來解釋在釋義等式上的額外限制，保證它是等價關係並且這個關係顧及了等價事物的代換。

其他公式可以使用布爾代數來釋義；對於命連接結詞這是很容易的；可以簡單地在子公式的真值上應用對應的布爾運算符。例如，如果φ(x)和ψ(y, z)分別是帶有一個和兩個自由變數的公式，並且是要代換x、y和z為模型的全集的元素a、b和c，則

對於量化的公式，需要利用布爾代數 B的完全性。如果φ(x)帶有自由變數x（可能還有其他忽略的自由變數），則

這裡右手端要被理解為在B中所有真值||φ(a)||地上確界，這裡a的範圍在M之上。

一個公式的真值有時被稱為它的可能性。它不能理解為一般意義上的概率，它們不是實數而是完不成代數的B的元素。

給定一個完全布爾代數B，有一個指示為V的布爾值模型，它是馮·諾伊曼全集V的布爾取值的類似者。（嚴肅說，V是真類，所以需要適地地重新解釋對於模型意味著什麼）。非形式地，認為V是象“布爾值集合”的某種東西；換句話說，布爾值集合，不再有定義分明的元素和非元素，而有帶有是這個集合的元素的特定“可能性”的對象。這個“可能性”是B的一個元素，不是實數。這不同於模糊集合的概念。

布爾值集合的（“可能的”）元素，依次也是布爾值集合，它的元素也是布爾值集合，以此類推。要得到布爾值集合的非循環定義，需要有層地地建造它們。所以對於V的每個序數α定義集合Vα為：

Vα是β<α的Vβ的並集，如果α是極限序數（包括0）。Vα+1是從Vα到B的所有函數的集合。（這種函數表示Vα的“可能的”子集；如果f是這種函數，則對於任何x∈Vα，f(x)是x在這個集合中的可能性）。定義V是所有集合Vα的並集。

有可能相對化這個完整構造於ZF(或者有時它的片段)的某個傳遞模型M。在這種情況下通過應用上述構造於內部構造造布爾值模型M。對傳遞模型的限制是不嚴重的，因為Mostowski塌陷引理蘊涵了所有合理的（良基的外延）模型同構於傳遞模型。（如果模型M不是因為傳遞事物而使其變得更加雜亂，因為M對什麼意味著是“函數”或“集合”的釋義可能不同於“外的釋義釋義）。

接著需要在集合V上定義兩個B-得得等於關係和成員關係。(在V上的B-值關係是從V×V到B的函數)。為了避免混淆於通常的等式和成員關係，對於在V中的x和y，它們指示為||x=y||和||x∈y||。它們定義如下:

||x∈y||被定義為∑t∈Dom(y)||x=t||∧y(t)（" x在y中如果它等於在y中的某個東西"）||x=y||被定義為||x⊆y||∧||y⊆x||（" x等於y如果x和y相互都是對方的子集"），這裡的||x⊆y||被定義為∏t∈Dom(x)x(t)⇒||t∈y||("x是y的子集如果所有x的元素都在y中") 符號∑和∏意味著我們在完全布爾代數 B中採用最小上界和最大下界。第一眼看來上述定義好象是循環的: ||∈|依依賴||=||，它依賴於||⊆||，它依賴於||∈||。但是閉合檢查證實||∈||的定義只對於更小階的元素依賴於||∈||，所以||∈||和||=||是從V×V到B的良好定義的函數。

最後需要檢查在V上的這兩個B-值的關係||∈||和||=||詩詩V成為集合論的布爾值模型。沒有自由變數的每個一階集合論的句子都在B中有一個值，需要檢查等式的所有公理和ZF集合論的所有公理(沒有自由變數的)有B的元素“真”的值。這是直截了當的，但是要花很長時間因為有很多不同的公理需要檢查。