代數曲面

代數曲面是代數幾何中考慮的另一類重要的幾何對象。它是緊的4維定向實流形，也就是緊復2維流形。它是比代數曲線更為複雜的研究對象。

代數曲面X自帶了一些重要的數值不變數。這些量主要包括：典範體積 K_X^2(也就是典範除子的自相交數)，上同調的歐拉示性數 χ(O_X)，拓撲的歐拉示性數χ_{top}(X)。不變數是反映曲面自身特徵的數值量。

這三個不變數滿足一個簡單的線性關係式，即著名的諾特公式。

曲面上的陳類有c_1(X)與c_2(X).

是否存在這樣的代數曲面，使得它的不變數恰好有指定的值呢？這就是代數曲面理論所要研究的課題－－稱為曲面地理學。

其次我們要將所有的曲面按照各類不變數進行分類，就好比按照生物的不同性狀分成各個種類。因此人們把這一工作形象地稱為曲面的生物學分類。

代數曲面上的代數曲線也是重要的研究對象。著名的黎曼洛赫定理（Riemann－Roch定理）就是揭示曲線和曲面關係的一個深刻結果。

Enriques 按照小平邦彥的小平維數，給出了曲面的一個粗糙的分類定理。其中一般型極小曲面是最難研究的曲面類型。

1. 最簡單的代數曲面是射影平面。

2. 與射影平面雙有理等價的曲面是所謂的有理直紋面。它們也稱作Hirzebruch曲面。它們的小平維數等於-∞.

3. 一般型曲面 是代數曲面中最複雜的曲面，至今還沒有完全被研究清楚。

4. 除此之外，還有Abel曲面， Enriques曲面，橢圓曲面， K3曲面等等。