積分第二中值定理

設f(x)在[a,b]上可積，g(x)在[a,b]上單調，則存在，使得

這個定理的推導比較複雜，牽扯到積分上限函數： 。以下用 表示從a到b的定積分。

首先需要證明，若函數f(x)在[a,b]內可積分，則Φ(x)在此區間內為一連續函數。

證明：設 則則

因 在[a,b]上不變號，則由積分第一中值定理知，在[a,b]上至少存在一點ξ，使得

於是，有

即 得證。

在一些比較複雜的極限證明過程中應用積分第二中值定理可以得到很好的結果，而且計算過程簡單易懂，證明方式也很多，下面給出它在各個方面的重要應用。

例1.設f(x)在[a,b]上可積,g(x)在[a,b]上單調遞增且非負，在a,b處連續，那麼在[a,b]上存在ξ,使

證 明 :令 ,因為h(t)非負且單調遞減( 0

2.不等式的應用

例2.證明時，

證明：取 ,由積分中值定理和它的推論可得:

3.在極限中的應用

例3.證明極限

證明：由積分中值定理和它的推論可得：令

令可知g(x)在[0,1]上連續，而且不變號。所以存在ξ使得 因此有以下式子