幾何光學

幾何光學只是波動光學的近似，是當光波的波長很小時的極限情況。作此近似后，幾何光學就可以不涉及光的物理本性，而能以其簡便的方法解決光學儀器中的光學技術問題。

光線的傳播遵循三條基本定律：光線的直線傳播定律，即光在均勻媒介中沿直線方向傳播；光的獨立傳播定律，既兩束光在傳播途中相遇時互不干擾，仍按各自的途徑繼續傳播，而當兩束光會聚於同一點時，在該點上的光能量是簡單的相加；反射定律和折射定律，既光在傳播途中遇到兩種不同媒質的光滑分界面時，一部分反射另一部分折射，反射光線和折射光線的傳播方向分別由反射定律和折射定律決定。

基於上述光線傳播的基本定律，可以計出光線在光學系統中的傳播路徑。這種計算過程稱為光線追跡，是設計光學系統時必須進行的工作。

光線的傳播遵循以下基本定律：

① 光線的直線傳播定律。光在均勻媒質中沿直線方向傳播。食、影和針孔成像等現象都證明這一事實，大地測量等很多光學測量工作也都以此為根據。

② 光的獨立傳播定律。兩束光在傳播途中相遇時互不干擾，仍按各自的途徑繼續傳播；而當兩束光會聚於同一點時，在該點上的光能量是簡單相加的。

③反射定律和折射定律。光傳播途中遇到兩種不同媒質的光滑分界面時，一部分反射另一部分折射。反射光線和折射光線的傳播方向分別由反射定律和折射定律決定。

④光程可逆性原理：一束光線從一點出發經過無論多少次反射和折射，如在最後遇到與光束成直角的界面反射，光束必然準確地循原路返回出發點。

基於上述光線傳播的基本定律，可以計算光線在光學系統中的傳播路徑。這種計算過程稱為光線追跡，是設計光學系統時必須進行的工作。

幾何光學中研究和討論光學系統理想成像性質的分支稱為高斯光學，或稱近軸光學。它通常只討論對某一軸線(即光軸)具有旋轉對稱性的光學系統。如果從物點發出的所有光線經光學系統以後都交於同一點，則稱此點是物點的完善像。

高斯光學的理論是進行光學系統的整體分析和計算有關光學參量的必要基礎，計算結果（像的大小、成像位置等）接近於實際值。雖然只描述近軸區的成像性質，但在衡量非近軸區的成像狀況和質量方面也是必不可少的。特別是在光學系統初步設計階段，高斯光學的理論和有關計算公式有其重要的實用意義。

如果物點在垂軸平面上移動時，其完善像點也在垂軸平面上作線性移動，則此光學系統成像是理想的。可以證明，非常靠近光軸的細小物體，其每個物點都以很細的、很靠近光軸的單色光束被光學系統成像時，像是完善的。這表明，任何實際的光學系統(包括單個球面、單個透鏡)的近軸區都具有理想成像的性質。

為便於一般地了解光學系統的成像性質和規律，在研究近軸區成像規律的基礎上建立起被稱為理想光學系統的光學模型。這個模型完全撇開具體的光學系統結構，僅以幾對基本點的位置以及一對基本量的大小來表徵。

根據基本點的性質能方便地導出成像公式，從而可以了解任意位置的物體被此模型成像時，像的位置、大小、正倒和虛實等各種成像特性和規律。反過來也可以根據成像要求求得相應的光學模型。任何具體的光學系統都能與一個等效模型相對應，對於不同的系統，模型的差別僅在於基本點位置和焦距大小有所不同而已。

高斯光學的理論是進行光學系統的整體分析和計算有關光學參量的必要基礎。

利用光學系統的近軸區可以獲得完善成像，但沒有什麼實用價值。因為近軸區只有很小的孔徑(即成像光束的孔徑角)和很小的視場(即成像範圍)，而光學系統的功能，包括對物體細節的分辨能力、對光能量的傳遞能力以及傳遞光學信息的多少等，正好是被這兩個因素所決定的。要使光學系統有良好的功能，其孔徑和視場要遠比近軸區所限定的為大。

當光學系統的孔徑和視場超出近軸區時，成像質量會逐漸下降。這是因為自然點發出的光束中，遠離近軸區的那些光線在系統中的傳播光路偏離理想途徑，而不再相交於高斯像點(即理想像點)之故。這時，一點的像不再是一個點，而是一個模糊的彌散斑；物平面的像不再是一個平面，而是一個曲面，而且像相對於物還失去了相似性。所有這些成像缺陷，稱為像差。

用單色光成像時，有五種不同性質的像差，即球差彗差、像散、場曲和畸變。前三種像差破壞了點點對應。其中，球差使物點的像成為圓形彌散斑，彗差造成彗星狀彌散斑，而像散則導致橢圓形彌散斑。場曲使物平面的像面彎曲，畸變使物體的像變形。

此外，當用較寬波段的複色光成像時，由於光學媒質的折射率隨波長而異，各色光經透鏡系統逐面折射時，必會因色散而有不同的傳播途徑，產生被稱為色差的成像缺陷。色差分兩種：位置色差和倍率色差。前者導致不同的色光有不同的成像位置，後者導致不同的色光有不同的成像倍率。兩者都使像帶色而嚴重影響成像質量，即使在近軸區也不能倖免。

各種像差的實際值需通過若干條光線的追跡而得知。但是，在稍大於近軸區的範圍(稱賽德耳區)內，成像缺陷可以用初級像差(也稱賽德耳像差)來描述。初級像差值只需通過對二條近軸光線的追跡就能全部計算出來。像差，特別是初級像差已有相當完整的理論，是光學系統設計的理論基礎。

為使光學系統在具有大的孔徑和視場時能良好成像，必須對像差作精細校正和平衡，這不是用簡單的系統所能實現的。所以，高性能的實際光學系統需要有較複雜的結構形式。

一個光學系統須滿足一系列要求，包括：放大率、物像共軛距、轉像和光軸轉折等高斯光學要求；孔徑和視場等性能要求，以及校正像差和成像質量等方面的要求。這些要求都需要在設計時予以考慮和滿足。因此，光學系統設計工作應包括：對光學系統進行整體安排，並計算和確定系統或系統的各個組成部分的有關高斯光學參量和性能參量；選取或確定系統或系統各組成部分的結構形式並計算其初始結構參量；校正和平衡像差；評價像質。

像差與光學系統結構參量(如透鏡厚度、透鏡表面曲率半徑等)之間的關係極其複雜，不可能以具體的函數式表達出來，因而無法採用解方程之類的辦法直接由像差要求計算出系統的精確結構參量。現在能做到的是求得滿足初級像差要求的解。

初級像差是實際像差的近似表示，僅在孔徑和視場較小時能反映實際的像差情況，因此，按初級像差要求求得的解只是初始的結構參量，需對其進行修改才能達到像差的進一步校正和平衡，在這一過程中，傳統的做法是根據追跡光線得到的像差數據及其在系統各面上的分佈情況，進行分析、判斷，找出對像差影響大的參量，加以修改，然後再追跡光線求出新的像差數據加以訐價。如此反覆修改，直到把應該考慮的各種像差都校正和平衡到符合要求為止。這是一個極其繁複和費時很多的過程。

電子計算機的問世和應用，給光學設計工作以很大的促進。光學自動設計能根據系統各個結構參量對像差的影響，同時修改對像差有校正作用的所有參量，使各種像差同時減小，因此能充分發揮各個結構參量對像差的校正作用，不僅加快了設計速度，也提高了設計質量。

在光學自動設計中，需構造一個既便於計算機作判斷又能反映所設計系統像質優劣的評價函數，以引導計算機對結構參量的修改。通常，用加權像差的二次方之和構成評價函數，它是系統結構參量的函數。每修改一次結構參數(稱為一次迭代)都會引起評價函數值的變化，如果有所降低，就表示像差有所減小，像質有所提高。

結構參量的改變要有一定的約束，以保證有關邊界條件得到滿足。所以，所謂光學自動設計，就是在滿足邊界條件的前提下，經過若干次迭代，由計算機自動找出一組結構參量，使其評價函數為極小值。現在用於光學自動設計的數學方法很多，較為有效、已為大家所採用的有阻尼最小二乘法，標準正交化法和適應法等。