折射定律

光從一種介質射向另一種介質的平滑界面時，一部分光被界面反射，另一部分光透過界面在另一種介質中折射，折射光線服從折射定律：折射光線與入射光線、法線處在同一平面內，折射光線與入射光線分別位於法線的兩側；入射角的正弦與折射角的正弦成正比，即

式中n是比例的常數，稱為第二介質對第一介質的相對摺射率。

光的折射定律可由惠更斯原理推導。

如右圖，一束光線a首先於時刻t由介質1到達界面。光線a進入介質2后，又經過時間Δt，光線b也到達界面。這時A、B兩點發出的子波的波面如圖中兩小段圓弧所示，他們的包絡面為圖中的CD，這是波進入介質2之後的新的波面。由於是兩種介質，波面的半徑不同。從A點發出的波半徑為，其中v是介質2中的光速。而從B點發出的波半徑為BC=vΔt，其中v是介質1中的光速。

從三角形ABC和ADC，可得出

兩式相除可得

即

該式進一步給出了折射率n與兩邊介質中的光速v和v之間的關係．該定律同樣適用於聲波和無線電波．

1.折射光線與入射光線和法線在同一平面內。

2.折射光線與入射光線分居法線兩側。

3.當光從光疏介質斜射入光密介質中時，折射角小於入射角。

4.當光從光密介質中斜射入光疏介質時，折射角大於入射角。

5.當入射角增大時，折射角也隨著增大。

6.當光線垂直射向介質表面時，傳播方向不改變。

托勒密

公元二世紀，希臘人托勒密（90—168）通過實驗研究了光的折射現象。

1．實驗設計：托勒密的實驗設計如圖所示：在一個圓盤上裝上兩把能繞盤中心S旋轉的中間可以活動的尺子．將圓盤面垂直立於水中，水面到達圓心處。

2．實驗方法：實驗時轉動兩把尺子使之分別與入射光線和折射光線重合。然後把圓盤取出，分別按照尺的位置測出入射角和折射角。

3．實驗結果：托勒密通過上述的方法測得從空氣中射入水中的光線折射時的一系列對應值為：

4．數據分析：托勒密通過分析以上數據，得出結論：折射角和入射角是成正比關係。今天我們知道這個結論是不正確的，它只有在入射角很小的情況下才近似成立。

5．留給我們的沉思：從托勒密的實驗設計實驗方法到實驗數據的收集可以說是完全正確的．他的實驗結果也是相當精確的，與現代值幾乎沒有多大的差別。但是托勒密可惜的是未能從正確的數據中發現正確的規律，從這裡可看出對實驗數據正確處理，加上正確理論的指導在發現規律中的重要性。托勒密是第一個用實驗方法測定入射角和折射角的人，他曾求出具有單位半徑的圓中弧與所對應的弦長數字，並巧妙地用數學方法編製了表（相當於現代的正弦三角函數表），他當時對摺射角和入射角的測量是相當精確的，如果他當時把關於光折射的實驗數據與他所編製的這份表作一比較的話，他就會不難發現入射角的正弦與折射角的正弦之比對給定的兩種介質來說是一個常數，這樣他就會發現折射定律，然而他卻沒有這樣做，以致錯過了一次發現的機會。

開普勒對摺射規律的修正

德國人開普勒在彙集前人光學知識的基礎上，斷定托勒密關於折射規律的結論是不正確的．於是他開始便想通過實驗發現折射定律，但實驗最後沒有成功．他便轉向從理論上加以探索．他得出的折射定律是：折射角由兩部分組成，一部分正比於入射角，另一部分正比於入射角的正割；只有在入射角小於30°時，入射角和折射角成正比的關係才成立，顯然，開普勒關於折射定律的研究和修正比托勒密前進了一步．但還沒能給出正確的折射定律。

斯涅耳發現折射定律

荷蘭數學家威裡布里德·斯涅耳（1591—1626）於1620年前後，通過實驗確立了開普勒想發現而沒有能夠發現的折射定律．他注意研究了水中的物體看起來像飄浮的現象，做了如下實驗：當在空氣中的0點觀察水中的A點時，猶如在B點一樣，如圖(A)所示．斯涅耳發現，對於任意入射角存在以下關係(B)圖所示，斯涅耳沒有用理論推導，而是用實驗又驗證了它。斯涅耳對摺射定律作了如下表述：在不相同的介質里，入射角和折射角的餘割之比總是保持相同的值。由於餘割和正弦成反比，所以這個敘述等價於現代折射定律的表達式。

笛卡兒進一步完善了光的折射定律

法國人笛卡兒，他以媒質中球的運動作類比，試圖說明折射定律．如圖所示，假設球在媒質Ⅰ中運動，當進入媒質Ⅱ時，球速的水平分量不變，垂直部分增大，Ⅱ中的光速變成Ⅰ中光速的u倍．其結果球在媒質Ⅱ內部偏轉，而所需時間僅為通過媒質Ⅰ中所需時間的1/u．因此根據幾何關係，可得在這段時間內，球在水平方向前進的距離BE等於CB/u．所以式中i為入射角，r為折射角。

笛卡兒第一次給出了折射定律的現代表述形式。

費馬對摺射定律的發展與理論論證

法國人費馬（1601—1665）從理論上得到費馬原理，並用演繹方法從費馬原理中推導出折射定律。

1．費馬從理論上得到費馬原理．費馬從理論上推導出：光沿著光程為極值的路徑傳播．設某空間介質的折射率連續變化，光由A點傳播到B點就必循一曲線，如圖所示它的總光程為根據變分法原理，光程為極值的條件為此式即為費馬原理的數學表達式．由費馬原理可以推導出反射定律和折射定律，並可證明它們的光程為極值。

2．費馬用演繹方法導出折射定律

費馬在前人發現折射定律的基礎上對光的折射定律又有了新的發展．費馬認為，導出折射定律可以採取另一種截然不同的思考方法．他假定不同媒質對光的傳播表現出不同的阻力，他首先指出，光在不同媒質中傳播時，所走路程取極值，即遵從費馬原理．即是說，光從空間的一點到另一點，是沿著光程為極值（最小、最大或常量）的路程傳播的．藉助於光程這個概念可將光在媒質中所走過的路程折算為光在真空中通過的路程，這樣便於比較光在不同媒質中所走路程的長短．1661年費馬運用費馬原理成功地導出了折射定律．

光的折射定律與光的反射定律一起，構成了幾何光學的兩大支柱，在光學的發展史有重要的影響。

用費馬原理解釋

費馬原理又稱為“最短時間原理” ：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。費馬原理更正確的版本應是“平穩時間原理”。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，對於平面鏡，任意兩點的反射路徑光程是最小值；對於半橢圓形鏡子，其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值；對於半圓形鏡子，其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值；又如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。

假設，介質1、介質2的折射率分別為，光線從介質1在點O傳播進入介質2，為入射角，為折射角。

從費馬原理，可以推導出斯涅爾定律。通過設定光程對於時間的導數為零，可以找到“平穩路徑”，這就是光線傳播的路徑。光線在介質1與介質2的傳播速度分別為，。其中，c為真空光速。

由於介質會減緩光線的速度，折射率都大於1。

從點Q到點P的傳播時間為。

根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間T對變數x的導數，並令其為零。經整理后可得

。

將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到折射定律：

。

利用光的粒子性解釋

假設對某系統整體做一個平移之後，這系統仍舊保持不變，則稱此系統具有平移對稱性。從平移對稱性，可以推導出斯涅爾定律。這是建立於橫向均勻界面不能改變橫向動量的道理。由於波矢量

因此，

根據折射率的定義式：，

其中，ω是光波的角頻率。

將其帶入（1）式，即可得到折射定律：。

微觀至原子尺寸，雖然沒有任何界面是完全均勻的，假若精細至光波波長尺寸，傳播區域可以估視為均勻，則平移對稱性仍不失為優良近似。

利用麥克斯韋電磁場理論解釋

幾何光學的三條基礎定律為：

● 第一定律：入射波、反射波、折射波的波矢量，與界面的法線共同包含於“入射平面”。

● 第二定律：反射角等於入射角。這定律稱為“反射定律”。

● 第三定律：這定律稱為“斯涅爾定律”，又稱為“折射定律”。

由於光波是處於某一特定頻段的電磁輻射，因此光必須滿足麥克斯韋方程組與伴隨的邊界條件。其中一條邊界條件為，在邊界的臨近區域，電場平行於邊界的分量必須具有連續性。假設邊界為xOy平面，則在邊界，有

。

其中，分別為在入射波、反射波、折射波（透射波）的電場平行於邊界的分量。

假設入射波是頻率為ω的單色平面波，則為了在任意時間滿足邊界條件，反射波、折射波的頻率必定為ω。設的形式為

其中，分別是入射波、反射波、折射波的波矢量，分別是入射波、反射波、折射波的波幅（可能是復值）。

為了在邊界任意位置（x，y，0）滿足邊界條件，相位變化必須一樣，必須設定

因此，

不失一般性，假設，則立刻可以推斷第一定律成立，入射波、反射波、折射波的波矢量，與界面的法線共同包含於入射平面。

從波矢量x-分量的相等式，可以得到。

而在同一介質里，。所以，第二定律成立，入射角θi等於反射角θr。

應用折射率的定義式：，

可以推斷第三定律成立：。

其中，分別是折射介質的折射率與折射角。

從入射波、反射波、折射波之間的相位關係，就可以推導出幾何光學的三條基礎定律。