廣義托勒密定理

托勒密提出的定理

托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，其推論是任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且當ABCD四點共圓時取等號。

目錄

概念介紹

托勒密定理的推論：任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且當ABCD四點共圓時取等號。

證明如下：在四邊形ABCD中，連接AC、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD

廣義托勒密定理

廣義托勒密定理

則△ABE∽△ACD

∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD

∴BE*AC=AB*CD ①,AB/AE=AC/AD

∵∠BAE=∠CAD

∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC

即∠BAC=∠DAE

廣義托勒密定理

廣義托勒密定理

又∵AB/AE=AC/AD,

∴△ABC∽△AED

∴BC/ED=AC/AD

∴ED*AC=AD*BC②

①+②,得

AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC

又∵BE+ED≥BD

廣義托勒密定理

廣義托勒密定理

∴AC*BD≤AB*CD+AD*BC

從而命題得證，

且僅當E點落在線段BD上時，等號成立

此時∠ABD=∠ACD

∴ABCD四點共圓

目錄