托勒密定理

一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。

摘出並完善後的托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。

指圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。

一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）

在任意凸四邊形ABCD中(如右圖)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,連接DE.

則△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,

所以△ABC∽△AED.

BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因為BE+ED≥BD

（僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”）

複數證明

用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的複數，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c) 、(a-c)、(b-d)。首先注意到複數恆等式： ( a− b)( c− d) + ( a− d)( b− c) = ( a− c)( b− d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。四點不限於同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、

設ABCD是圓內接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一點K，使得∠ABK = ∠CBD；因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD；因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA；兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA；但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。

三、

托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等於兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內接四邊形ABCD，求證：AC·BD=AB·CD+AD·BC．

證明：如圖1，過C作CP交BD於P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①+②得 AC(BP+DP)=AB·CD+AD·BC．即AC·BD=AB·CD+AD·BC．

四、廣義托勒密定理：設四邊形ABCD四邊長分別為a,b,c,d,兩條對角線長分別為m、n，則有：

m *n =a *c +b *d -2abcd*cos(A+C)

托勒密不等式：凸四邊形的兩組對邊乘積和不小於其對角線的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。

簡單的證明：複數恆等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，

得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。

2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓

1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。

2.四點不限於同一平面。

歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則AD·BC+AB·CD=AC·BD