數群

設G是一個非空集合，*是它的一個代數運算，如果滿足以下條件：

Ⅰ.結合律成立，即對G中任意元素a,b,c都有

Ⅱ.G中有元素e，它對G中每個元素a都有 ，叫做G的左單位元；G中有元素e，它對G中每個元素a都有 a*e=a，叫做G的右單位元；如果e既是左單位元又是右單位元，則e叫做G的單位元。

Ⅲ.對G中每個元素a在G中都有元素，叫做a的左逆元，使

則稱G對代數運算*做成一個群。

一般說來，群指的是對於某一種運算*，滿足以下四個條件的集合G：

（1）

若

（2）

任意

（3）

（4）

任意a∈G,存在唯一確定的b∈G,

通常稱G上的二元運算*為“乘法”，稱

若群G中元素個數是有限的，則G稱為有限群。否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。

如果G對於運算為一個群，H包含於G並且H對構成一個群，那麼稱H為G的子群。

這條定理可以判定G的子集是否為一個子群：

群論是法國傳奇式人物Galois的發明。他用該理論解決了五次方程問題。今天，群論經常應用於物理領域。粗略地說，我們經常用群論來研究對稱性，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質。

在物理上，置換群是很重要的一類群。置換群包括S3群，二維旋轉群，三維旋轉群以及和反應四維時空相對應的洛侖茲群。洛侖茲群加上四維變換就構成了Poincare群。

在研究群時，使用表象而非群元是較方便的，因為群元一般來說都是抽象的事物。表象可以看成矩陣，而矩陣具有和群元相同的性質。不可約表象和單位表象是表象理論中的重要概念。