正則變換

設某系統存在著一組廣義坐標和廣義動量，而變數變換式為：

式中t為時間。如果變換式(1)滿足

,

而且使系統原來的正則方程

，

變換到以K為哈密頓函數的另一組正則方程

， (2)

則式(1)稱為正則變換。式(2)中的是新哈密頓函數。

根據正則方程與廣義哈密頓原理的等價性，上述要求也可表述為：

(3)

如果上式同時成立，其被積函數應滿足

(4)

式中F稱為正則變換的“母函數”。由於4N個新老正則變數之間有2N個變換關係式相聯繫，可在其中選出2N個變數作為獨立變數。假定某類正則變換可以選擇(q,Q)這2N個變數作為獨立變數，則F可表達為(q,Q,t)的函數，並記為。於是有：

(5)

而

將上式代入(5)中，比較係數得：

， (6)

式中F1稱為“第一類的母函數”，可以按要求適當選定。選定后，可自式(6)的第一式解出Q,再自第二式算出P，K可由式(6)的末一式求得。這樣求得的Q，P,K一定適合正則方程：

。

在4N個新老正則變數中，如果對2N個獨立變數的取法不同，則母函數的形式也不同。常用的母函數有。它們之間的關係可寫為：施行正則變換的目的是將正則方程變換成較易求解的方程。如選擇正則變換，使變換后的新哈密頓函數，則這種變換后的新廣義坐標全部成為可遺坐標。由式(2)得：

，

故，式中分別為積分常數。

假定上述正則變換的母函數為根據式(6)的末一式，應該有：

。 (7)

將寫成,再把式(6)中的第一式代入式(7)中便得到：這就是著名的哈密頓－雅可比方程，通過它的全積分可以找到滿足上述要求的正則變換。

正則變換的研究在天體力學中有廣泛的應用。