預序關係

考慮集合P 及其上的二元關係

。若具有自反性和傳遞性，則稱為預序。具體來說，對 P 的任意元素 a，b 和 c，下列性質成立：

自反性：a

a

傳遞性：若a

b且b

c，則a

c

帶預序的集合稱為預序集合（preordered set，或者proset）。

同時滿足反對稱性（若 a

b 且 b

a，則 a = b）的預序為偏序。

另一方面，如果一個預序滿足對稱性（若a

b，則b

a），則為等價關係。

作為特例，空集上的空關係為一預序。空集加上空關係構成一預序集。

將預序集的等價元素等同起來，可得到由該預序集所導出的偏序集。具體過程如下：定義預序集 X 上的等價關係

，使得 a

b 當且僅當 a

b 且 b

a。定義所得商集

（所有

的等價類構成的集合）上的序關係

，使得[x]

[y] 當且僅當 x

y。由

的構造可知，

的定義與所選等價類的代表元素無關，故上述定義明確。易證該關係為一偏序。

● 有向圖（可以包括圈）上的可到達關係給出了一個預序≤，對於有向圖中的任意兩點x, y，x≤y當且僅當存在一條由x到y的路徑。反過來說，每個預序都可理解為一個有向圖上的可到達關係。（比如，如果x≤y的話，就規定這個圖包含由x到y的有向邊。）不過，這種對應關係不是唯一的。不同的圖也可以給出相同的可到達關係。而同樣地，有向無環圖上的可到達關係也誘導出一個偏序。

● 拓撲中網的收斂定義使用預序比使用偏序可避免重要特徵的丟失。

● 可數全序間的嵌入（embedding）關係。

● 圖論中的graph-minor關係。

全預序的例子：

● 一般模型中的偏好概念。