商集

非空集合S關於它上面的任何等價關係R的商集具有下列特點：

1.S/R≠∅；

2.若A∈S/R，則A≠∅；

3.若A，B∈S/R，A≠B，則A∩B=∅.

利用選擇公理，在S/R的每個元素A中取出一個元素a∈A，稱為等價類A的代表，而{a}稱為商集的代表集。集S對它上面的不同的等價關係R和G有不同的商集，且滿足：

1.S/R=S/R；

2.S/E={{a}}，這裡E是恆等關係；

3.S/(S×S)={S}，這裡S×S是全域關係；

4.若S/R={A}，S/G={B}，則且其中某些項可能是空集。

例1A={a,b,c,d,e,f}={某大學宿舍的大學生}；R是A上的同鄉關係（不難證明同鄉關係是等價關係），若a,b是北京人，c是廣東人，d,e,f南京人，則R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}.A中各元素關於R的等價類分別是：

[a]=[b]={a,b}；

[c]={c}；

[d]=[e]=[f]={d,e,f}；

A關於R的商集A/R={[a]R,[c]R,[d]R}={{a,b},{c},{d,e,f}}.

例2A={(x，y)|-∞0，y1y2>0，(x1，y)∈A，(x2，y2)∈A}是A的等價關係，A關於～的等價類為A=[(1，1)]，A=[(-1，1)]，A=[(-1，-1)]，A=[(1，-1)]，顯然A，A，A，A就是直角坐標平面上的四個象限(如下圖)。這時A關於～的商集為：A/～={A，A，A，A}.

設X是線性空間，Y是X的一個線性子空間。對x∈X，記稱是以x為代表元的等價類，於是得到商集在中規定易知這樣的線性運算是一意確定的，於是，按這個線性運算稱為線性空間。在商空間中，X的子空間Y被“縮”為零向量.

例如，在L空間中，記Y為幾乎處處等於零的函數全體，則對f∈L，就是與F幾乎處處相等的函數組成的等價類。

如果X為賦范線性空間，Y是X的線性閉子空間，對規定容易證明這樣定義的是上的范數，即仍是賦范線性空間，而且，當X是Banach空間時，商空間也是Banach空間。

[二元關係]設A,B是集合，R是笛卡兒乘積AxB的子集，則稱R是A到B的一個二元關係，例如A={x,y},B={a,b},R={(x,a),(x,b),(y,a),(y,b)}.

[自反的二元關係]如果對於集合A的每一個元素a，都有(a,a)屬於二元關係R，則稱R為自反的二元關係。

[對稱的二元關係]如果每當(a,b)屬於R，就一定有(b,a)屬於R，則稱R是對稱的二元關係。

[傳遞的二元關係]如果每當有(a,b)、(b,c)均屬於R，必有(a,c)屬於R，則稱傳遞的二元關係。

[等價關係]R是A上的[二元關係]，如果R是自反的、對稱的、傳遞的二元關係，則稱R為A上的等價關係。

[等價類]設R是A的等價關係，a是A中的任意元素，由A中的所有與a相關的元素組成的集合，稱為a關於R的等價類。