二元關係
用於討論兩個數學對象的聯繫
數學上，二元關係（binary relation）用於討論兩個數學對象的聯繫。諸如算術中的「大於」及「等於」，幾何學中的"相似"，或集合論中的"為·..之元素"或"為·..之子集"。二元關係有時會簡稱關係，但一般而言關係不必是二元的。其中 R 的首項是物件的集合，次項是人的集合，而末項是由有序對（物件，主人）組成的集合。稱為R的關係矩陣，記作M。嚴格偏序（反自反的傳遞關係）的數目和偏序的一樣多。全序即是那些同時是全預序的偏序。那些不符合對稱性的二元關係也可組成四元組（某關係、補集、逆、逆的補集）。
集合 X 與集合 Y 上的二元關係是 ，其中 ，稱為R 的圖，是笛卡兒積的子集。若，則稱x 是 R-關係於y ，並記作 xRy 或 R(x,y)。否則稱a與b無關係R。
但經常地我們把關係與其圖等同起來，即：若 ，則R 是一個關係。
例子：有四件物件 {球，糖，車，槍} 及四個人 {甲，乙，丙，丁}。若甲擁有球，乙擁有糖，及丁擁有車－即無人有槍及丙一無所有— 則二元關係"為...擁有"便是
R=({球，糖，車，槍}, {甲，乙，丙，丁}, {(球，甲), (糖，乙), (車，丁)})。
其中 R 的首項是物件的集合，次項是人的集合，而末項是由有序對（物件，主人）組成的集合。比如有序對（球，甲），所以我們可寫作"球R甲"，表示球為甲所擁有。
不同的關係可以有相同的圖。以下的關係 ({球，糖，車，槍}, {甲，乙，丁}, {(球，甲), (糖，乙), (車，丁)} 中人人皆是物主，所以與 R 不同，但兩者有相同的圖。
話雖如此，我們很多時候索性把R 定義為 G(R)，而 "有序對" 亦即是 ""。
二元關係可看作成二元函數，這種二元函數把輸入元 及視為獨立變數並求真偽值（即“有序對 是或非二元關係中的一元”此一問題）。
若，則稱 R為 X 上的關係。
註：下文我們將採用把二元關係R定義為子集的做法。
設A是一個集合，則
空集∅稱作A上的空關係（因為∅也是的子集）。
稱作A上的全域關係。
稱作A上的恆等關係
關係的性質主要有以下五種：自反性，反自反性，對稱性，反對稱性和傳遞性。
自反性：
在集合X上的關係R，如對任意，有，則稱R是自反的。
反自反性（自反性的否定的強形式）：
在集合X上的關係R，如對任意，有，則稱R是反自反的。
對稱性：
在集合X上的關係R，如果有則必有 ，則稱R是對稱的。
反對稱性（不是對稱性的否定）：
非對稱性（對稱性的否定的強形式）：
非對稱關係是滿足反自反性的反對稱關係。
傳遞性：
實例
例1：
設,和是A上的關係，其中
則是自反的，是反自反的，既不是自反的也不是反自反的。
例2：
設,和是A上的關係，其中
則既是對稱的也是反對稱的。是對稱的但不是反對稱的。是反對稱的但不是對稱的。既不是對稱的也不是反對稱的。
例3：
設，和是A上的關係，其中
則和是A上的傳遞關係，是A上的傳遞關係。
設及 ，R是X與Y上的二元關係，令
則0,1矩陣稱為R的關係矩陣，記作。
設R集合A到B上的二元關係，令圖，其中頂點集合 ，邊集合為E ，且對於任意的，規定當且僅當。則稱圖G是關係R的關係圖。
關係的基本運算有以下幾種：
設R為二元關係。
R中所有有序對的第一元素構成的集合稱為R的定義域，記作dom(R)，即。
R中所有有序對的第二元素構成的集合稱為R的值域，記作ran(R) ，即。
R的定義域和值域的並集稱作R的域，記作fld(R)，即
R的逆關係，簡稱R的逆，記作，其中
設S也是一個二元關係。R和S的合成記作，其定義為。
若R是一個集合A上的二元關係，可以在自然數範圍內定義R的n次冪。首先規定，再遞歸定義。可以證明有成立。
與關係性質的連繫
設R為集合A上的關係，下面給出的六種性質成立的充要條件：
R在A上自反當且僅當
R在A上反自反當且僅當
R在A上對稱當且僅當
R在A上反對稱當且僅當
R在A上非對稱當且僅當
R在A上傳遞當且僅當
設R是非空集合A上的關係， R的自反（對稱或傳遞）閉包是A上的關係R' ，滿足
(1) R'是自反的（對稱的或傳遞的）
(2)
(3) 對A上任何包含R的自反（對稱或傳遞）關係R''有
下列給出了構造閉包的方法：
對於有限集合A 上的關係R ，存在一個正整數s，使得，且s不超過A的元素數。
求傳遞閉包是圖論中一個非常重要的問題，例如給定了一個城市的交通地圖，可利用求傳遞閉包的方法獲知任意兩個地點之間是否有路相連通。可以直接利用關係矩陣相乘來求傳遞閉包，但那樣做複雜度比較高；好一點的辦法是在計算矩陣相乘的時候用分治法降低時間複雜度；但最好的方法是利用基於動態規劃的Floyd-Warshall演演算法來求傳遞閉包。
在一個有n個元素的集合（簡稱n元素集）上，一共有個可能的二元關係。
| 在n元素集上各種二元關係的數目 | ||||||||
| n | 所有 | 傳遞 | 自反 | 預序 | 偏序 | 全預序 | 全序 | 等價關係 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 16 | 13 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 |
| 3 | 512 | 171 | 64 | 29 | 19 | 13 | 6 | 5 |
| 4 | 65536 | 3994 | 4096 | 355 | 219 | 75 | 24 | 15 |
| OEIS | A002416 | A006905 | A053763 | A000798 | A001035 | A000670 | A000142 | A000110 |
註：
反自反關係和自反關係的數目一樣多。
嚴格偏序（反自反的傳遞關係）的數目和偏序的一樣多。
全序即是那些同時是全預序的偏序。透過容斥原理的想法，可知那些既不是偏序也不是全預序的預序數目是：預序的數目，減去偏序的數目，再減去全預序的數目，最後加上全序的數目，即0, 0, 0, 3, 85, ...
各個二元關係之間可組成二元組（某關係及其補集），除了在時，空關係的補集即其自身。那些不符合對稱性的二元關係也可組成四元組（某關係、補集、逆、逆的補集）。
有序對
二元集合
笛卡兒積
偏序關係
等價關係
基本信息
- 第三條
- 性質
- 第一條
- 定義
- 第二條
- 特殊的二元關係