集合劃分

集合 X 的劃分是 X 的非空子集的集合，使得所有 X 的元素 x 都精確在這些子集的其中一個內。

等價的說， X 的子集的集合 P 是 X 的劃分，如果

沒有 P 的元素是空集。( NB - 某些定義不需要這個要求) P 的元素的並集等於 X。(我們稱 P 的元素 覆蓋X。) P 的任何兩個元素的交集為空。(我們稱 P 的元素是兩兩不相交。) P 的元素有時叫做劃分的 塊或 部分。

當我們說“集合”這個概念時，劃分的思想已經存在了。當我們說給定一個集合時，也就給定了該集合的補集。一個集合與它的補集就已經構成了一個劃分。因此說上面的定義是再次劃分的定義。可以說劃分和定義是一個概念。原始定義也就是初始劃分。原始定義和公理又是一個概念。給定一個公理也就是給定一個劃分。

所有單元素集合 { x} 都有精確的一個劃分就是 { { x} }。對於任何集合 X， P = { X} 是 X 的一個劃分。空集有精確的一個劃分，就是沒有塊的劃分。對於集合 U 的任何非空真子集 A， A 和它的補集一起是 U 的一個劃分。如果我們不使用前面定義中的公理 1，則上述例子可以推廣為任何(空和非空)子集與它的補集一起是一個劃分。集合 { 1, 2, 3 } 有五個劃分。 { {1}, {2}, {3} }，有時指示為 1/2/3。 { {1, 2}, {3} }，有時指示為 12/3。 { {1, 3}, {2} }，有時指示為 13/2。 { {1}, {2, 3} }，有時指示為 1/23。 { {1, 2, 3} }，有時指示為 123。注意 如果我們使用了前面定義中的公理 1，則 { {}, {1,3}, {2} } 不是一個劃分(因為它包含空集)；否則它是 {1, 2, 3} 的一個劃分。 { {1,2}, {2, 3} } 不是(任何集合的)一個劃分，因為元素 2 包含在多於一個不同的子集中。 { {1}, {2} } 不是 {1, 2, 3} 的一個劃分，因為沒有塊包含 3；但它是 {1, 2} 的一個劃分。

如果一個等價關係給出在集合 X 上，則所有等價類的集合形成 X 的一個劃分。反過來說，如果一個劃分 P 給出在 X 上，我們可以定義在 X 上的寫為 x ~ y 的等價關係，當且僅當存在 P 的一個成員包含 x 和 y 二者。“等價關係”和“劃分”的概念因此本質上是等價的。