招差術

招差術即高次內插法，是現代計算數學中一種常用的插值方法。在中國古代天文學中早已應用了一次內插法，隋唐時期又創立了等間距和不等間距二次內插法，用以計算日月五星的視行度數。但是太陽等天體的視運動並不是時間的二次函數，因此僅用二次內插公式推算的結果仍不夠精確。唐代天文學家一行已經注意到這個問題，並列出一個包括三差的表格。由於當時數學水平所限，一行還沒有能夠給出正確的三次差內插公式。元代天文學家和數學家王恂、郭守敬在所編製的《授時歷》中，為精確推算日月五星運行的速度和位置，根據“平、定、立”三差，創用三次差內插公式，這在數學上是重要的創新，同時也把天文曆法的計算工作推進了一大步。朱世傑對於這類插值問題作了更深入的研究。他在《四元玉鑒》中成功地把高階等差級數方面的研究成果運用於內插法，得到了一般的插值公式：

並且明確指出公式中各項係數恰好是p＝ 1，2，3，…時的三角垛求和公式。上述插值公式，在中國數學史上一般稱為“招差術”，其用途並不僅僅限於內插法。招差術與垛積術是密切相關的，這兩者可以互相推演。朱世傑掌握了三角垛公式，因而易於推導出一般的內插公式。相反地，利用招差術，也可解決高階等差級數的求和問題。因此，朱世傑的垛積搞差術，將宋元數學家在這方面的研究成果推進到了更加完善的地步。在歐洲，對招差術首先加以討論的是英國數學家J.格雷戈里（J.Gregory，1670）。此後不久，牛頓得到了現在通稱牛頓插值公式的一般結果。牛頓插值公式在現代數學和天文學計算中仍然起著重要的作用。

朱世傑所發現的公式與牛頓插值公式在形式上和實質上都是完全一致的，而後者要晚三百多年。招差術的創立、發展和應用是中國數學史和天文學史上具有世界意義的重大成就。