內部

這個定義也可以推廣到拓撲空間，只需要用鄰域替代“開球”。設S是拓撲空間X的子集，則x是S的內點，若存在x鄰域被包含於S。注意，這個定義並不要求鄰域是開的。

等價地，S的內部是S補集的閉包的補集。內部的概念在很多情況下和閉包的概念對偶。

一個集合的外部是它補集的內部，等同於它閉包的補集；它包含既不在集合內，也不在邊界上的點。一個子集的內部、邊界和外部一同將整個空間分為三塊（或者更少，因為這三者有可能是空集）。內部和外部總是開的，而邊界總是閉的。沒有內部的集合叫做邊緣集。

設集合X及其冪集P(X)，映射i:P(X)→P(X)稱為內部運算元，當且僅當其滿足以下內部公理：

● i1：∀A⊆X，i(A)⊆A；

● i2：∀A⊆X，i(A)=i(i(A))；

● i3：∀A，B⊆X，i(A∩B)=i(A)∩i(B)

● i4：i(X)=X；

其中對於X的子集A，i(A)稱為A的內部，i(A)中的點稱為A的內點。

從內部運算元出發可以定義拓撲，這和從開集，閉集，閉包，鄰域，導集，基等概念出發定義拓撲的方式是等價的。

● 開集X的子集A稱為開集，當且僅當i(A)=A；

● 閉集X的子集A稱為閉集，當且僅當i(X-A)=X-A；

● 閉包運算元，閉包，觸點

● 閉包運算元c:P(X)→P(X)定義為∀A⊆X，c(A)=X-i(X-A)。其中c(A)稱為A的閉包，c(A)中的點稱為A的觸點。閉包運算元是內部運算元的對偶概念，閉包是內部的對偶概念，觸點是內點的對偶概念。

● 鄰域X的子集A，B，稱A是B的鄰域，當且僅當B⊆i(A)。

● 邊界，邊界點邊界運算元∂P(X)→P(X)定義為∀A⊆X，∂A=A-i(A)。其中∂A稱為A的邊界，∂A中的點稱為A的邊界點。

● 令S為歐幾里得空間的子集。若存在以x為中心的開球被包含於S，則x是S的內點。

● 這個定義可以推廣到度量空間X的任意子集S。具體地說，對具有度量d的度量空間X，x是S的內點，若對任意不屬於S或在S邊界上的y，都有d(x,y)>0。

● 這個定義也可以推廣到拓撲空間，只需要用鄰域替代“開球”。設S是拓撲空間X的子集，則x是S的內點，若存在x鄰域被包含於S。注意，這個定義並不要求鄰域是開的。

集合S的內部是S的所有內點組成的集合。S的內部寫作int(S)、Int(S)或Sint(S)是S的開子集。

int(S)是所有包含於S的開集的並集。

int(S)是包含於S的最大的開集。

集合S是開集，當且僅當S=int(S)。

int(int(S))=int(S)。（冪等）

若S為T的子集，則int(S)是int(T)的子集。

若A為開集，則A是S的子集，當且僅當A是int(S)的子集。

有時候，上述第二或第三條性質會被作為拓撲內部的定義。

● ∀A，B⊆X，A⊆B⇒i(A)⊆i(B)。

● ∀A，B⊆X，i(A∪B)⊇i(A)∪i(B)。

● ∀A，B⊆X，A是開集⇒(A⊆B⇔A⊆i(B))。（i(B)是包含於B的最大開集。)

● ∀B⊆X，i(B)=∪{A：A是開集，A⊆B}；（i(B)是B中所有開集之並。）

在任意空間，空集的內部是空集。

對任意空間X,int(X)=X.

若X為實數的歐幾里德空間R，則int([0,1])=(0,1)。

若X為實數的歐幾里德空間R，則有理數集合Q的內部是空集。

若X為複平面C=R在任意歐幾里德空間，任意有限集合的內部是空集。

在實數集上，除了標準拓撲，還可以使用其他的拓撲結構。

若X=R，且R有下限拓撲，則int([0,1])=[0,1)。

若考慮R中所有集合都是開集的拓撲，則int([0,1])=[0,1]。

若考慮R中只有空集和R自身是開集的拓撲，則int([0,1])是空集。

上述示例中集合的內部取決於背景空間的拓撲。接下來給出的兩個示例比較特殊。

在任意離散空間中，由於所有集合都是開集，所以所有集合都等於其內部。

在任意不可分空間X中，由於只有空集和X自身是開集，所以int(X)=X且對X的所有真子集A，int(A)是空集。

內部運算元是閉包運算元的對偶，在如下意義上

● S=X\(X\S),

還有

● S=X\(X\S)

這裡的X是包含S的拓撲空間，反斜杠指示補集。

因此，通過把集合替代為它的補集，閉包運算元和庫拉托夫斯基閉包公理的抽象理論可以輕易的轉換到使用內部運算元的語言中。