雞兔同籠

雞兔同籠是中國古代的數學名題之一。大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：

• 今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

這四句話的意思是：

• 有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭，從下面數，有94隻腳。問籠中各有多少只雞和兔？

算這個有個最簡單的演演算法。

（總腳數-總頭數×雞的腳數）÷（兔的腳數-雞的腳數）=兔的只數

（94－35×2）÷2=12(兔子數) 總頭數（35）－兔子數（12）=雞數（23）

解釋：讓兔子和雞同時抬起兩隻腳，這樣籠子里的腳就減少了總頭數×2隻，由於雞隻有2隻腳，所以籠子里只剩下兔子的兩隻腳，再÷2就是兔子數。

這一問題的本質是一種二元方程。如果教學方法得當，可以讓小學生初步地理解未知數和方程等概念，並鍛煉從應用問題中抽象出數的能力。一般在小學四到六年級時，配合一元一次方程等內容教授。

同一本書中還有一道變題：

今有獸，六首四足；禽，四首二足，上有七十六首，下有四十六足。問：禽、獸各幾何？答曰：八獸、七禽。

題設條件包括了不同數量的頭和不同數量的足。

《孫子算經》的作者為本題提出了兩種解法：

術曰：上置三十五頭，下置九十四足。半其足，得四十七，以少減多，再命之，上三除下四，上五除下七，下有一除上三，下有二除上五，即得。

又術曰：上置頭，下置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。

所謂的“上置”，“下置”指的是將數字按照上下兩行擺在籌算盤上。在算籌盤第一行擺上數字三十五，第二行擺上數字九十四，將腳數除以二，此時第一行是三十五，第二行是四十七。用較小的頭數減去較多的半腳數，四十減去三十（上三除下四），七減去五（上五除下七）。此時下行是十二，三十五減十二（下一除上三，下二除上五）得二十三。此時第一行剩下的算籌就是雞的數目，第二行的算籌就是兔的數目。

另一種更簡單的描述方法是：在第一行擺好三十五，第二行擺好九十四，將腳數除以2，用頭數去減半腳數，用剩下的數（我們現在知道這是兔數）減去頭數。這樣第一行剩下的是雞數，第二行剩下兔數。

至於頭多於一個的“禽獸問題”，“孫子”給出的解法如下：

術曰：倍足以減首，余半之，即獸；以四乘獸，減足，余半之，即禽。

將腳數乘以兩倍（此時禽腳與禽頭的係數恰好相同），頭數減去兩倍腳數，除以二，得到獸的只數（八隻），獸的只數乘以四（求出獸的腳數），總腳數減去獸的腳數再除以二，得到禽的只數。

如果對照下面的二元方程就會發現，古法相當於是只在操作方程等號的右半邊，並沒有詳細說明操作的係數代表什麼。於是也只有“心開者”才能觸之即悟了。

• 假設全是雞：2×35=70（只）

• 雞腳比總腳數少：94－70=24 （只）

• 兔子比雞多的腳數：4-2=2（只）

• 兔子的只數：24÷2=12 （只）

• 雞的只數：35－12=23（只）

• 假設全是兔子：4×35=140（只）

• 兔子腳比總數多：140-94=46（只）

• 兔子比雞多的腳數：4-2=2（只）

• 雞的只數：46÷2=23（只）

• 兔子的只數：35-23=12（只）

一元一次方程

解：設兔有x只，則雞有隻。

解得則雞有：35-12=23(只）

解：設雞有x只，則兔有隻。

解得則兔有：35-23=12(只）

答：兔子有12隻，雞有23隻。

註：通常設方程時，選擇腿的只數多的動物，會在套用到其他類似雞兔同籠的問題上，好算一些。

• 解：設雞有x只，兔有y只。

解得

答：兔子有12隻，雞有23隻。

方法一

假如讓雞抬起一隻腳，兔子抬起2隻腳，還有94÷2=47（只）腳。籠子里的兔就比雞的腳數多1，這時，腳與頭的總數之差47-35=12，就是兔子的只數。

方法二

假如雞與兔子都抬起兩隻腳，還剩下94－35×2=24隻腳，這時雞是屁股坐在地上，地上只有兔子的腳，而且每隻兔子有兩隻腳在地上，所以有24÷2=12隻兔子，就有35－12=23隻雞。

方法三

我們可以先讓兔子都抬起2隻腳，那麼就有35×2=70隻腳，腳數和原來差94-70=24隻腳，這些都是每隻兔子抬起2隻腳，一共抬起24隻腳，用24÷2得到兔子有12隻，用35-12得到雞有23隻。

公式1：（兔的腳數×總只數－總腳數）÷（兔的腳數－雞的腳數）=雞的只數

總只數－雞的只數=兔的只數

公式2：（總腳數－雞的腳數×總只數）÷（兔的腳數－雞的腳數）=兔的只數

總只數－兔的只數=雞的只數

公式3：總腳數÷2—總頭數=兔的只數

總只數—兔的只數=雞的只數

公式4：兔總只數=（雞兔總腳數-2×雞兔總只數）÷2 雞的只數=雞兔總只數-兔總只數

公式5：雞的只數=(4×雞兔總只數-雞兔總腳數）÷2 兔的只數=雞兔總只數-雞的只數

公式6 ：4×+2（總數－x）=總腳數（x=兔，總數－x=雞數，用於方程）

中國古代《孫子算經》共三卷，成書大約在公元5世紀。這本書淺顯易懂，有許多有趣的算術題，比如“雞兔同籠”問題：

今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

題目中給出雉兔共有35隻，如果把兔子的兩隻前腳用繩子捆起來，看作是一隻腳，兩隻後腳也用繩子捆起來，看作是一隻腳，那麼，兔子就成了2隻腳，即把兔子都先當作兩隻腳的 雞。雞兔總的腳數是35×2=70（只），比題中所說的94隻要少94-70=24（只）。

鬆開一隻兔子腳上的繩子，總的腳數就會增加2隻，即70+2=72（只），再鬆開一隻兔子腳上的繩子，總的腳數又增加2，2，2，2……，一直繼續下去，直至增加24，因此兔子數：24÷2=12（只），從而雞有35-12=23（只）。

我們來總結一下這道題的解題思路：如果先假設它們全是雞，於是根據雞兔的總數就可以算出在假設下共有幾隻腳，把這樣得到的腳數與題中給出的腳數相比較，看看差多少，每差2隻腳就說明有1隻兔，將所差的腳數除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起來，解雞兔同籠題的基本關係式是：兔數=（實際腳數-每隻雞腳數×雞兔總數）÷（每隻兔子腳數-每隻雞腳數）。類似地，也可以假設全是兔子。

"雞兔同籠"是一類有名的中國古算題。最早出現在《孫子算經》中。許多小學算術應用題都可以轉化成這類問題，或者用解它的典型解法--"假設法"來求解。因此很有必要學會它的解法和思路。

例1：有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244隻腳，雞和兔各有多少只

解：我們設想，每隻雞都是"金雞獨立"，一隻腳站著；而每隻兔子都用兩條後腿，像人一樣用兩隻腳站著，地面上出現腳的總數的一半，·也就是

244÷2=122（只）

在122這個數里，雞的頭數算了一次，兔子的頭數相當於算了兩次。因此從122減去總頭數88，剩下的就是兔子頭數

122-88=34（只），

有34隻兔子，當然雞就有54隻。

答：有兔子34隻，雞54隻。

上面的計算，可以歸結為下面算式：

總腳數÷2-總頭數=兔子數. 總頭數-兔子數=雞數

上面的解法是《孫子算經》中記載的。做一次除法和一次減法，馬上能求出兔子數，多簡單！能夠這樣算，主要利用了兔和雞的腳數分別是4和2,4又是2的2倍。可是，當其他問題轉化成這類問題時，"腳數"就不一定是4和2，上面的計算方法就行不通。因此，我們對這類問題給出一種一般解法.

還說例1.

如果設想88隻都是兔子，那麼就有4×88隻腳，比244隻腳多了

88×4-244=108（只）.

每隻雞比兔子少(4-2)只腳，所以共有雞

(88×4-244)÷(4-2)= 54（只）.

說明我們設想的88隻"兔子"中，有54隻不是兔子。而是雞。因此可以列出公式

雞數=（兔腳數×總頭數-總腳數）÷（兔腳數-雞腳數）.

當然，我們也可以設想88隻都是"雞"，那麼共有腳2×88=176（只），比244隻腳少了

244-176=68（只）.

每隻雞比每隻兔子少(4-2)只腳，

68÷2=34（只）.

說明設想中的"雞",有34隻是兔子，也可以列出公式

兔數=（總腳數-雞腳數×總頭數）÷（兔腳數-雞腳數）.

上面兩個公式不必都用，用其中一個算出兔數或雞數，再用總頭數去減，就知道另一個數。

假設全是雞，或者全是兔，通常用這樣的思路求解，有人稱為"假設法".

拿一個具體問題來試試上面的公式。

例2 紅鉛筆每支0.19元，藍鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元。問紅，藍鉛筆各買幾支？

解：以"分"作為錢的單位。我們設想，一種"雞"有11隻腳，一種"兔子"有19隻腳，它們共有16個頭，280隻腳。

現在已經把買鉛筆問題，轉化成"雞兔同籠"問題了。利用上面算兔數公式，就有

藍筆數=(19×16-280)÷(19-11)

=24÷8

=3（支）.

紅筆數=16-3=13（支）.

答：買了13支紅鉛筆和3支藍鉛筆。

對於這類問題的計算，常常可以利用已知腳數的特殊性。例2中的"腳數"19與11之和是30.我們也可以設想16隻中，8隻是"兔子",8隻是"雞",根據這一設想，腳數是

8×(11+19)=240（支）。

比280少40.

40÷(19-11)=5（支）。

就知道設想中的8隻"雞"應少5隻，也就是"雞"(藍鉛筆）數是3.

30×8比19×16或11×16要容易計算些。利用已知數的特殊性，靠心算來完成計算.

實際上，可以任意設想一個方便的兔數或雞數。例如，設想16隻中，"兔數"為10,"雞數"為6，就有腳數

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷(19-11)=3,

就知道設想6隻"雞",要少3隻。

要使設想的數，能給計算帶來方便，常常取決於你的心算本領.

例3 一份稿件，甲單獨打字需6小時完成。乙單獨打字需10小時完成，甲單獨打若干小時后，因有事由乙接著打完，共用了7小時。甲打字用了多少小時？

解：我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數），甲每小時打30÷6=5（份），乙每小時打30÷10=3（份）.

現在把甲打字的時間看成"兔"頭數，乙打字的時間看成"雞"頭數，總頭數是7."兔"的腳數是5,"雞"的腳數是3，總腳數是30，就把問題轉化成"雞兔同籠"問題了。

根據前面的公式

"兔"數=(30-3×7)÷(5-3)

=4.5,

"雞"數=7-4.5

=2.5

也就是甲打字用了4.5小時，乙打字用了2.5小時。

答：甲打字用了4小時30分.

例4 1998年時，父母年齡（整數）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲。四年後(2002年）父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍。那麼當父的年齡是兄的年齡的3倍時，是公元哪一年？

解：4年後，兩人年齡和都要加8.此時兄弟年齡之和是17+8=25，父母年齡之和是78+8=86。我們可以把兄的年齡看作"雞"頭數，弟的年齡看作"兔"頭數。25是"總頭數"，86是"總腳數"。根據公式，兄的年齡是

(25×4-86)÷(4-3)=14（歲）.

1998年，兄年齡是

14-4=10（歲）.

父年齡是

(25-14)×4+4=40（歲）.

因此，當父的年齡是兄的年齡的3倍時，兄的年齡是

(40-10)÷(3-1)=15（歲）.

這是2003年。

答：公元2003年時，父年齡是兄年齡的3倍.

例5蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。這三種小蟲共18隻，有118條腿和20對翅膀。每種小蟲各幾隻？

解：因為蜻蜓和蟬都有6條腿，所以從腿的數目來考慮，可以把小蟲分成"8條腿"與"6條腿"兩種。利用公式就可以算出8條腿的

蜘蛛數=(118-6×18)÷(8-6)

=5（只）.

因此就知道6條腿的小蟲共

18-5=13（只）.

也就是蜻蜓和蟬共有13隻，它們共有20對翅膀。再利用一次公式

蟬數=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.

因此蜻蜓數是13-6=7（只）.

答：有5隻蜘蛛，7隻蜻蜓，6隻蟬。

例6 某次數學考試考五道題，全班52人參加，共做對181道題，已知每人至少做對1道題，做對1道的有7人，5道全對的有6人，做對2道和3道的人數一樣多，那麼做對4道的人數有多少人？

解：對2道，3道，4道題的人共有

52-7-6=39（人）.

他們共做對

181-1×7-5×6=144（道）.

由於對2道和3道題的人數一樣多，我們就可以把他們看作是對2.5道題的人（(2+3)÷2=2.5).這樣

兔腳數=4，雞腳數=2.5,

總腳數=144，總頭數=39.

對4道題的有

(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31（人）.

答：做對4道題的有31人。

以例1為例 有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244隻腳，雞和兔各有多少只？

以簡單的X方程計算的話，我們一般用設大數為X，那麼也就是設兔為X，那麼雞的只數就是總數減去雞的只數，即只。

解：設兔為X只。則雞為只。

上列的方程解釋為：兔子的腳數加上雞的腳數，就是共有的腳數。4X就是兔子的腳數，就是雞的腳數。

即兔子為34隻，總數是88隻，則雞：88-34=54隻。

答：兔子有34隻，雞有54隻。