梯度

設二元函數在平面區域D上具有一階連續偏導數，則對於每一個點都可定出一個向量,該函數就稱為函數在點的梯度，記作或,即有：

其中稱為（二維的）向量微分運算元或Nabla運算元，。

設是方向l上的單位向量，則

由於當方向l與梯度方向一致時，有

所以當l與梯度方向一致時，方嚮導數有最大值，且最大值為梯度的模，即

因此說，函數在一點沿梯度方向的變化率最大，最大值為該梯度的模。

梯度的概念可以推廣到三元函數的情形。

設三元函數在空間區域G內具有一階連續偏導數，點，稱向量為函數在點P的梯度，或 即

其中稱為（三維的）向量微分運算元或Nabla運算元，。

同樣，該梯度方向與取得最大方嚮導數的方向一致，而它的模為方嚮導數的最大值。

設體系中某處的物理參數(如溫度、速度、濃度等)為，在與其垂直距離的dy處該參數為，則稱為該物理參數的梯度，也即該物理參數的變化率。如果參數為速度、濃度、溫度或空間，則分別稱為速度梯度、濃度梯度、溫度梯度或空間梯度。其中溫度梯度在直角坐標系下的表達式：

在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格地說，從歐幾里得空間Rn到R的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅可比矩陣的特殊情況。

在單變數的實值函數的情況，梯度只是導數，或者，對於一個線性函數，也就是線的斜率。