微積分學

數學中的轉折點是笛卡爾的變數，有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學，有了變數，微分學和積分學也就立刻成為必要的了，而它們也就立刻產生，並且是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的，但不是由他們發明的。——恩格斯

從15世紀初歐洲文藝復興時期起，工業、農業、航海事業與商賈貿易的大規模發展，形成了一個新的經濟時代，宗教改革與對教會思想禁錮的懷疑，東方先進的科學技術通過阿拉伯的傳入，以及拜占庭帝國覆滅后希臘大量文獻的流入歐洲，在當時的知識階層面前呈現出一個完全嶄新的面貌。而十六世紀的歐洲，正處在資本主義萌芽時期，生產力得到了很大的發展，生產實踐的發展向自然科學提出了新的課題，迫切要求力學、天文學等基礎學科的發展，而這些學科都是深刻依賴於數學的，因而也推動的數學的發展。科學對數學提出的種種要求，最後匯總成多個核心問題：

（1）運動中速度與距離的互求問題

即，已知物體移動的距離S表為時間的函數的公式S=S（t）,求物體在任意時刻的速度和加速度；反過來，已知物體的加速度表為時間的函數的公式，求速度和距離。這類問題是研究運動時直接出現的，困難在於，所研究的速度和加速度是每時每刻都在變化的。比如，計算物體在某時刻的瞬時速度，就不能象計算平均速度那樣，用運動的時間去除移動的距離，因為在給定的瞬間，物體移動的距離和所用的時間是0，而0/0是無意義的。但是，根據物理，每個運動的物體在它運動的每一時刻必有速度，這也是無疑的。已知速度公式求移動距離的問題，也遇到同樣的困難。因為速度每時每刻都在變化，所以不能用運動的時間乘任意時刻的速度，來得到物體移動的距離。

（2）求曲線的切線問題

這個問題本身是純幾何的，而且對於科學應用有巨大的重要性。由於研究天文的需要，光學是十七世紀的一門較重要的科學研究，透鏡的設計者要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線入射透鏡的角度以便應用反射定律，這裡重要的是光線與曲線的法線間的夾角，而法線是垂直於切線的，所以總是就在於求出法線或切線；另一個涉及到曲線的切線的科學問題出現於運動的研究中，求運動物體在它的軌跡上任一點上的運動方向，即軌跡的切線方向。

（3）求長度、面積、體積、與重心問題等

這些問題包括，求曲線的長度（如行星在已知時期移動的距離），曲線圍成的面積，曲面圍成的體積，物體的重心，一個相當大的物體（如行星）作用於另一物體上的引力。實際上，關於計算橢圓的長度的問題，就難住數學家們，以致有一段時期數學家們對這個問題的進一步工作失敗了，直到下一世紀才得到新的結果。又如求面積問題，早在古希臘時期人們就用窮竭法求出了一些面積和體積，如求拋物線在區間[0，1]上與x軸和直線x=1所圍成的面積S，他們就採用了窮竭法。當n越來越小時，右端的結果就越來越接近所求的面積的精確值。但是，應用窮竭法，必須添上許多技藝，並且缺乏一般性，常常得不到數字解。當阿基米德的工作在歐洲聞名時，求長度、面積、體積和重心的興趣復活了。窮竭法先是逐漸地被修改，後來由於微積分的創立而根本地修改了。

（4）求最大值和最小值問題

炮彈在炮筒里射出，它運行的水平距離，即射程，依賴於炮筒對地面的傾斜角，即發射角。一個“實際”的問題是求能獲得最大射程的發射角。十七世紀初期，Galileo斷定（在真空中）最大射程在發射角是45時達到；他還得出炮彈從各個不同角度發射后所達到的不同的最大高度。研究行星的運動也涉及到最大值和最小值的問題，如求行星離開太陽的距離。

中國古代數學家也產生過積分學的萌芽思想，例如三國時期的劉徽，他對積分學的思想主要有兩點：割圓術及求體積問題的設想。

在3世紀，中國數學家劉徽創立的割圓術用圓內接正九十六邊形的面積近似代替圓面積，求出圓周率π的近似值3.141024，並指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓合體而無所失矣”。劉徽對面積的深刻認識和他的割圓術方法，正是極限思想的具體體現。數列極限是函數極限的基礎，一個數列an如果當n無限增大時，an與某一實數無限接近，就稱之為收斂數列，a為數列的極限，記作liman=a例如an=1/n，數列的極限為0。

微分學的基本概念是導數。導數是從速度問題和切線問題抽象出來的數學概念。牛頓從蘋果下落時越落越快的現象受到啟發，希望用數學工具來刻畫這一事實。若用s=s(t)表示物體的運動規律，即物體運動中所走路程s與時間t的關係，那麼物體在t=t0時的瞬時速度為v(t0)，並記v(t0)=s′（t0），並稱之為路程s關於時間t的導數或變化率，也可記v(t0)=()|t=t0。而物體運動的加速度a(t)=v′(t)=s″（t）=()。導數作為一個數學工具無論在理論上還是實際應用中，都起著基礎而重要的作用。例如在求極大、極小值問題中的應用。

積分學的基本概念是一元函數的不定積分和定積分。主要內容包括積分的性質、計算，以及在理論和實際中的應用。不定積分概念是為解決求導和微分的逆運算而提出來的。如果對每一x∈I ，有f(x)=F′（x），則稱F(x)為f(x)的一個原函數，f(x)的全體原函數叫做不定積分，記為，因此，如果F(x)是 f(x)的一個原函數，則=F(x)+C，其中C為任意常數。定積分概念的產生來源於計算平面上曲邊形的面積和物理學中諸如求變力所作的功等物理量的問題。解決這些問題的基本思想是用有限代替無限；基本方法是在對定義域[a，b]進行劃分后，構造一個特殊形式的和式，它的極限就是所要求的量。具體地說，設f(x)為定義在[a，b]上的函數，任意分划區間[a，b]:a=x0微分方程的初值問題和“微元求和”。

聯繫微分學和積分學的基本公式是：若f(x)在[a，b]上連續，F(x)是f(x)的原函數，則f(x)dx=F(b)－F(a)。通常稱之為牛頓-萊布尼茲公式。因此，計算定積分實際上就是求原函數，也即求不定積分。但即使f(x)為初等函數，計算不定積分的問題也不能完全得到解決，所以要考慮定積分的近似計算，常用的方法有梯形法和拋物線法。微積分學是微分學和積分學的總稱。

客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運動和變化著。因此在數學中引入了變數的概念后，就有可能把運動現象用數學來加以描述了。

由於函數概念的產生和運用的加深，也由於科學技術發展的需要，一門新的數學分支就繼解析幾何之後產生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數學發展中的地位是十分重要的，可以說它是繼歐氏幾何后，全部數學中的最大的一個創造。

微積分的產生一般分為三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關係。最後一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數學家一直追溯到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻。對於這方面的工作，古代中國毫不遜色於西方，微積分思想在古代中國也有萌芽，甚至不次於古希臘。

古希臘數學家、力學家阿基米德（公元前287~前212）的著作《圓的測量》和《論球與圓柱》中就已含有積分學的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線所得的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。

公元前4世紀《墨經》中有了有窮、無窮、無限小（最小無內）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創的割圓術求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等於3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現。

公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。作為微分學基礎的極限理論來說，在古代以有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期的劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至於不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。

微積分思想雖然可追溯到古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎上產生和發展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓台、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖恆求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括的《夢溪筆談》獨創了“隙積術”、“會圓術”和“棋局都數術”開創了對高階等差級數求和的研究。

特別是13世紀40年代到14世紀初，在主要領域都達到了中國古代數學的高峰，出現了現通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開方法、“正負開方術”、“大衍求一術”、“大衍總數術”（一次同餘式組解法）、“垛積術”（高階等差級數求和）、“招差術”（高次差內差法）、“天元術”（數字高次方程一般解法）、“四元術”（四元高次方程組解法）、勾股數學、弧矢割圓術、組合數學、計算技術改革和珠算等都是在世界數學史上有重要地位的傑出成果，中國古代數學有了微積分前兩階段的出色工作，其中許多都是微積分得以創立的關鍵。中國已具備了17世紀發明微積分前夕的全部內在條件，已經接近了微積分的大門。可惜中國元朝以後，八股取士製造成了學術上的大倒退，封建統治的文化專制和盲目排外致使包括數學在內的科學日漸衰落，在微積分創立的最關鍵一步落伍了。

到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用於另一物體上的引力。

數學首先從對運動（如天文、航海問題等）的研究中引出了一個基本概念，在那以後的二百年裡，這個概念在幾乎所有的工作中佔中心位置，這就是函數——或變數間關係——的概念。緊接著函數概念的採用，產生了微積分，它是繼Euclid幾何之後，全部數學中的一個最大的創造。圍繞著解決上述四個核心的科學問題，微積分問題至少被十七世紀十幾個最大的數學家和幾十個小一些的數學家探索過。位於他們全部貢獻頂峰的是牛頓和萊布尼茨的成就。在此，我們主要來介紹這兩位大師的工作。

實際上，在牛頓和萊布尼茨作出他們的衝刺之前，微積分的大量知識已經積累起來了。十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、沃利斯；德國的開普勒；義大利的卡瓦列里等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。

例如費馬、巴羅、笛卡爾都對求曲線的切線以及曲線圍成的面積問題有過深入的研究，並且得到了一些結果，但是他們都沒有意識到它的重要性。在十七世紀的前三分之二，微積分的工作沉沒在細節里，作用不大的細微末節的推理使他們筋疲力盡了。只有少數幾個大學家意識到了這個問題，如James Gregory說過：“數學的真正劃分不是分成幾何和算術，而是分成普遍的和特殊的”。而這普遍的東西是由兩個包羅萬象的思想家牛頓和萊布尼茨提供的。

十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這只是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯繫在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題（積分學的中心問題）。

牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分著重於從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重於幾何學來考慮的。

牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變數是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)。

德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用於分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現代的微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創設的微積分符號，遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大的影響。我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茨精心選用的。

從幼年時代起，萊布尼茨就明顯展露出一顆燦爛的思想明星的跡象。他13歲時就像其他孩子讀小說一樣輕鬆地閱讀經院學者的艱深的論文了。他提出無窮小的微積分演演算法，並且他發表自己的成果比艾薩克·牛頓爵士將它的手稿付梓早三年，而後者宣稱自己第一個做出了這項發現。

萊布尼茨是一個世故的人，取悅於宮廷並得到知名人士的庇護。他與斯賓諾莎有私交，後者的哲學給他以深刻的印象，雖然他斷然與斯賓諾莎的觀念分道揚鑣了。

萊布尼茨與哲學家、神學家和文人們進行著廣泛的通信交往。在他的宏大計劃中曾嘗試達成新教和天主教之間的一個和解以及基督教國家之間的聯合，這種聯合在他那個時代意味著歐洲聯盟。他還做過後來成為普魯士科學院的柏林科學協會的第一會長。

他曾服務於漢諾威宮廷，但當喬治一世成為英格蘭國王時，萊布尼茨沒有被邀請同去，也許是由於他與牛頓的爭端。他的公眾影響力下降了，而在1716年，他再無人注意，甚至被他所創立的學會忽視的情況下去世，終年70歲。

微積分學的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。

前面已經提到，一門科學的創立決不是某一個人的業績，他必定是經過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣。

不幸的是，由於人們在欣賞微積分的宏偉功效之餘，在提出誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的“流數術”中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。

其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間裡先後完成的。比較特殊的是牛頓創立微積分要比萊布尼茨早10年左右，但是正式公開發表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由於民族偏見，關於發明優先權的爭論竟從1699年始延續了一百多年。

應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生。

直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發展開來。任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者。在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、柯西……

歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數學也好，都是一種常量數學，微積分才是真正的變數數學，是數學中的大革命。微積分是高等數學的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現代科學技術園地里，建立了數不清的豐功偉績。

微積分（Calculus）是高等數學中研究函數的微分（Differentiation）、積分(Integration)以及有關概念和應用的數學分支。它是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

微積分是與應用聯繫著發展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。此後，微積分學極大的推動了數學的發展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發展。並在這些學科中有越來越廣泛的應用，特別是計算機的出現更有助於這些應用的不斷發展。微積分作為一門交叉性很強的科目，除了在物理等自然科學上有強實用性外，在經濟學上也有很強的推動作用。

微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分科學分支關係密切，包括醫藥、護理、工業工程、商業管理、精算、計算機、統計、人口統計，特別是物理學；經濟學亦經常會用到微積分學。幾乎所有現代科學技術，如：機械、土木、建築、航空及航海等工業工程都以微積分學作為基本數學工具。微積分使得數學可以在變數和常量之間互相轉化，讓我們可以已知一種方式時推導出來另一種方式。

物理學大量應用微積分；經典力學、熱傳和電磁學都與微積分有密切聯繫。已知密度的物體質量，動摩擦力，保守力場的總能量都可用微積分來計算。例如：將微積分應用到牛頓第二定律中，史料一般將導數稱為“變化率”。物體動量的變化率等於向物體以同一方向所施的力。今天常用的表達方式是\textbf{\emph{F}}=m\textbf{\emph{a}}，它包括了微分，因為加速度是速度的導數，或是位置矢量的二階導數。已知物體的加速度，我們就可以得出它的路徑。

生物學用微積分來計算種群動態，輸入繁殖和死亡率來模擬種群改變。

化學使用微積分來計算反應速率，放射性衰退。

麥克斯韋爾的電磁學和愛因斯坦的廣義相對論都應用了微分。

微積分可以與其他數學分支交叉混合。例如，混合線性代數來求得值域中一組數列的“最佳”線性近似。它也可以用在概率論中來確定由假設密度方程產生的連續隨機變數的概率。在解析幾何對方程圖像的研究中，微積分可以求得最大值、最小值、斜率、凹度、拐點等。

格林公式連接了一個封閉曲線上的線積分與一個邊界為C且平面區域為D的雙重積分。它被設計為求積儀工具，用以量度不規則的平面面積。例如：它可以在設計時計算不規則的花瓣床、游泳池的面積。

在醫療領域，微積分可以計算血管最優支角，將血流最大化。通過藥物在體內的衰退數據，微積分可以推導出服用量。在核醫學中，它可以為治療腫瘤建立放射輸送模型。

在經濟學中，微積分可以通過計算邊際成本和邊際利潤來確定最大收益。

微積分也被用於尋找方程的近似值；實踐中，它用於解微分方程，計算相關的應用題，如：牛頓法、定點循環、線性近似等。比如：宇宙飛船利用歐拉方法來求得零重力環境下的近似曲線。

在大學的數理、工程、商管教學中，微積分是“高等數學”的主要內容之一。其教學法由學科創立一開始就受到人們重視。在美國大學先修課程中，AP微積分AB、BC分別為對應大學一元微積分半年、全年課程。

在香港，微積分是新高中課程數學（延展部分）的一部分，這部分是選修的。