鏡像相似
鏡像相似
鏡像相似(mirror image similar)亦稱逆相似或異向相似，是一種特殊相似形。一個平面到自身的變換，如果對於任意兩點A，B，以及對應點A'，B'，總有A'B'=kAB（k為正實數），那麼，這個變換叫做相似變換，實數k叫做相似比，相似比為k的相似變換常記為H(k)，顯然，當k=1時，H(1)就是合同變換。在相似變換下，點A變為點A'，圖形F變為圖形F'，此時，稱F，F'是相似圖形，記為F∽F'。與合同圖形類似，如果在兩個相似圖形上，每兩個對應三角形沿周界環繞方向相同，則稱這兩個圖形真正相似；如果對應三角形沿周界環繞方向相反，那麼稱這兩個圖形鏡像相似。
鏡像相似是一種特殊相似形，設圖形F與F′是相似形，在圖形F上任取不共線的三點，它們在圖形上的對應點分別是(如圖1)，若與的方向相反，例如，沿周界的環繞方向與沿周界的環繞方向一個為逆時針方向，而另一個為順時針方向，則稱圖形F與圖形F′ 鏡像相似。鏡像相似圖形的重要特例是鏡像相似三角形。設與相似，且沿周界及環繞方向相反，若一個為逆時針方向，另一個為順時針方向，則這兩個三角形是鏡像相似三角形。
圖1
定理1 設是平面的一個位似軸反射變換，A是平面上不在其反射軸上的任一點，且，直線AA’與內反射軸l交於P，與外反射軸m交於Q，則
定理2位似軸反射變換是鏡像相似變換。
證明：因位似軸反射變換是軸反射變換與位似變換之積，軸反射變換是鏡像合同變換(當然也是鏡像相似變換)，位似變換是真正相似變換，而鏡像相似變換與真正相似變換之積是鏡像相似變換，故位似軸反射變換是鏡像相似變換。
位似軸反射變換儘管是兩個已知變換——軸反射變換與位似變換的乘積，但它有一個不動點——位似軸反射中心，更重要的是有下面的定理。
定理3 相似係數不等於1的鏡像相似變換必為位似軸反射變換。
如果平面π上的兩個圖形F與F'鏡像相似，且相似係數不等於1，則由定理3，存在平面π的一個位似軸反射變換，使得，這時，位似中心O稱為圖形與的逆相似中心，而反射軸(內、外兩條)則稱為圖形與的相似軸。
只有鏡像相似圖形(相似比不等於1)才有相似軸，順相似中心與逆相似中心統稱為相似中心。
對於平面上的兩個相似圖形，只要其相似係數不等於1，它們就有一個相似中心。
當兩個圖形鏡像相似(相似比不等於1)時，如何作出其相似軸和相似中心？實際上，定理1已經告訴了我們作法，
如圖2所示，設兩點在位似軸反射變換下的像點分別為，以相似比k分別內分和外分線段與，則兩個內分點的連線及兩個外分點的連線即為兩條相似軸，而兩相似軸的交點O即為相似中心。
圖2
【例1】設與鏡像相似，相似比不等於1，以相似比為分比內分線段、、於；再以相似比為分比外分線段於。求證: 三點與三點分別共線，且這兩條直線互相垂直。
圖3
【例2】設與真正相似，相似比為k，以k為分比分別內分線段於點，則三線共點。
圖4
基本信息
- 外文名
- mirror image similar
- 所屬問題
- 平面幾何(比例與相似形)
- 所屬學科
- 數學