相似變換

相似變換簡稱相似。歐幾里得幾何中的一類變換。任意兩點P、Q與其像點P'、Q'滿足|P'Q'|/|PQ|=k（k為非零常數）的變化。常數k稱為相似比（similarity ratio）。當k=1時，即為合同變換。相似變換可以表示成一個合同變換和一個位似變換的乘積。相似變換把圖形變成它和相似的圖形。相似變換保持兩直線所成角大小不變，並且不改變圖形形狀只改變其大小。

平面內有兩種相似變換：

1、真正的相似變換（正相似變換）；

2、鏡像相似變換（負相似變換）。

真正相似變換把一個圖形變換成與它真正相似（正相似）的圖形，即使得兩個相似圖形的每對對應三角形有同一的方向，每對對應角有同一方向。

鏡像相似變換把一個圖形換成與它鏡像相似的（負相似）圖形。即使得兩個相似圖形的每對對應三角形有相反的方向，每對對應角有相反的方向。

相似變換的逆變換也是相似變換，兩個相似變換的乘積仍是相似變換，所有的相似變換的全體構成一個群，稱為相似變化群（similarity transformation group）。 

圖形相似變換的性質

圖形的相似變換不改變圖形中每一個角的大小；

圖形相似變換后對應線段都擴大（或縮小）相同的倍數，這個數叫相似比。

相似變換面積

經相似變換的像與原圖的面積等於相似比的平方。

相似變換的分解

任何相似變換可以分解為放縮，平移，旋轉和翻轉變換的複合。相似變換是仿射變換的一種特殊情況，也就是在仿射變換中去除錯位變換這個因子后的結果。

定義

設M是方陣， P是一個同階可逆矩陣（即行列式不為零，也稱非奇異矩陣），N= P^-1MP稱為M的相似變換。 其中如果M和P都可以是複數域內的方陣，為了區別，我們通常稱為復相似變換。

任何方陣通過復相似變換可以變化到一種標準的分塊對角陣形式，其中每個分塊的對角線元相同，為矩陣M的特徵值，除此以外，僅對角線上面的副對角線元素為1，其餘都為0。或者說存在復可逆矩陣P，使得

P^-1MP=ding{R1,R2,…,Rt}

其中Ri形如λI+N，其中I為單位矩陣，N為和I同階的僅對角線上面次對角線元素為1其餘元素都是0的矩陣，即形如：

| 0 1 0 … 0 0 |

| 0 0 1 … 0 0 |

|… … … … |

| 0 0 0 … 1 0 |

| 0 0 0 … 0 1 |

| 0 0 0 … 0 0 |

當然特別的，如果Ri是一階的，I就是數字1，N是數字0。