逆矩陣

一個n階方陣A稱為可逆的，或非奇異的，如果存在一個n階方陣B，使得

並稱B是A的一個逆矩陣。不可逆的矩陣稱為奇異矩陣。A的逆矩陣記作A。

驗證兩個矩陣互為逆矩陣

按照矩陣的乘法滿足：故A，B互為逆矩陣。

逆矩陣的唯一性

若矩陣A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的。

證明：

若B,C都是A的逆矩陣，則有

所以，即A的逆矩陣是唯一的。

判定簡單的矩陣不可逆

如假設有是A的逆矩陣，則有

比較其右下方一項：。

若矩陣A可逆，則

若A可逆，即有，使得，故

若，則矩陣A可逆，且

其中，A為矩陣A的伴隨矩陣。

1、可逆矩陣一定是方陣。

2、（唯一性）如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。

3、A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作。

4、可逆矩陣A的轉置矩陣A也可逆，並且(轉置的逆等於逆的轉置）

5、若矩陣A可逆，則矩陣A滿足消去律。即，則，則。

6、兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。

7、矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。

1、逆矩陣是對方陣定義的，因此逆矩陣一定是方陣。設B與C都為A的逆矩陣，則有

2、假設B和C均是A的逆矩陣，，因此某矩陣的任意兩個逆矩陣相等。

3、由逆矩陣的唯一性，A的逆矩陣可寫作（A）和A，因此相等。

AB=AC

4、矩陣A可逆，有。由可逆矩陣的定義可知，A可逆，其逆矩陣為（A）。而（A）也是A的逆矩陣，由逆矩陣的唯一性，因此。

5、1）在兩端同時左乘A（BA=O同理可證），得，故）由（同理可證），，等式兩邊同左乘A，因A可逆。得，即。

可逆的等價條件

1、齊次方程方程組僅有零解。

2、A行等價與單位矩陣I

3、A可寫成若干個初等矩陣之積。

4、是（當時，A稱為奇異矩陣），利用這個方法，來判定一個矩陣是否可逆更加方便。

證明

必要性：當矩陣A可逆，則有。（其中I是單位矩陣）

兩邊取行列式，

由行列式的性質：

則，（若等於0則上式等於0）

充分性：有伴隨矩陣的定理，有（其中是的伴隨矩陣。）

當，等式同除以，變成比較逆矩陣的定義式，可知逆矩陣存在且逆矩陣

求逆矩陣的初等變換法

將一n階可逆矩陣A和n階單位矩陣I寫成一個nX2n的矩陣對B施行初等行變換，即對A與I進行完全相同的若干初等行變換，目標是把A化為單位矩陣。當A化為單位矩陣I的同時，B的右一半矩陣同時化為了A。

如求的逆矩陣A。

故A可逆並且，由右一半可得逆矩陣

初等變換法計算原理

若n階方陣A可逆，即A行等價I，即存在初等矩陣P1，P2,...,Pk使得

在此式子兩端同時右乘A得：

比較兩式可知：對A和I施行完全相同的若干初等行變換，在這些初等行變化把A變成單位矩陣的同時，這些初等行變換也將單位矩陣化為A。

如果矩陣A和B互逆，則AB=BA=I。由條件AB=BA以及矩陣乘法的定義可知，矩陣A和B都是方陣。再由條件AB=I以及定理“兩個矩陣的乘積的行列式等於這兩個矩陣的行列式的乘積”可知，這兩個矩陣的行列式都不為0。也就是說，這兩個矩陣的秩等於它們的級數（或稱為階，也就是說，A與B都是方陣，且）。換句話說，這兩個矩陣可以只經由初等行變換，或者只經由初等列變換，變為單位矩陣。

伴隨矩陣法

如果矩陣可逆，則

注意：中元素的排列特點是的第k列元素是的第k行元素的代數餘子式。要求得即為求解的余因子矩陣的轉置矩陣。的伴隨矩陣為，其中稱為aij的代數餘子式。