大衍總數術

《孫子算經》「物不知數」的數學模型，表明這一方法在南北朝時期已相當成熟，十三世紀秦九韶給出了完整方法，將其推廣到最一般的情形，這方法稱為「大衍總數術」，通常把中國古代求一次同餘問題的解法稱為「大衍求一術」。在歐洲，經過歐拉（ Euler ，公元 1707 - 1783 ）、拉格朗日（ Lagrange ，公元 1736 - 1813 ）、高斯（ Gauss ，公元 1777 - 1855 ）、三位數學家六十多年的努力才達到相同水準，但已在秦九韶之後五百五十多年了。中國古代數學這一傑出創造被方學者稱為「中國剩餘定理」，中國數學史界認為應叫做「孫子定理」。

秦九韶的大衍總數術分三大部分。在求定部分中，須把一般的問數化為彼此互素的問數，秦氏分成四格進行。該文對關鍵的“約奇約偶”、“復乘奇復乘偶”和“始得元數”諸詞給以適當解釋，並闡明“去總求等”的必要，從而完滿地處理了元數複數兩格，表明秦氏的求定理論是正確的。對大衍總數術的求乘車部分，該文指出大衍求一術是秦氏對古歷算家的求曆法上元的過程的總結，總結中，使用了一些深刻的概念，用它可以解一個同餘方程；秦氏又繼承了《孫子算經》的用數法以完滿地解多個同餘方程。該文特別指出，秦氏創立了他的減用法與借用數理論，以組成大衍總數術中很重要的第三部分——檢驗理論；他給出上元同金方程的減用借用式有解條件，與今天所用的相同；但其減用過程含有錯誤。最後，該文指出，在運算上演紀術簡便得多，但大衍總數術提出很多重要的概念，是演紀術的理論總結，在理論上更為重要。