理想數

舉例，設 y為方程 的根，則擴域中的整數環為，即所有 形式的數，其中a和 b為一般的整數。環中一個非主理想的例子是，但這個理想的立方為主理想。實際上這個環的理想類群是一個3階的循環群。與此對應的類域是添加方程的根 w到而獲得的擴域：。非主理想的一個理想數是 。由於滿足，它是一個代數整數。

類域整環乘 ι 元素元素具 的形式，其中

， .。 α 和 β 也是代數整數，滿足：

和

同時，將 乘以理想數 ι 后就會得到非主理想。

庫默爾的理想數概念在其後的四十年間被克羅內克和戴德金獨立地發展。戴德金在試圖直接推廣理想數概念時遇到了巨大的困難，最終導致他發展出了模理論和理想論。克羅內克則深化了型理論（二次型的推廣）和因子理論來解決。戴德金的理論發展成了後來的環論和抽象代數，而克羅內克的理論則成為了代數幾何中的有力工具。