鏈復形
鏈復形
鏈復形(chain complex)是一種抽象的復形。設是一族交換群和滿足的一族同態，則由它們組成的稱為一個鏈復形。同態∂q稱為鏈復形的邊緣運算元，群C及其子群：
從單純同調群和奇異同調群的理論可看出這些對象有許多共同特徵。比如它們都有一系列交換群，以及滿足的一系列邊緣同態運算元。為了深入研究同調理論，有必要抽象出這些代數的概念。
復形常指上復形。上復形亦稱上鏈。一種特殊的模同態序列。設有A-同態序列：
這個序列的兩個方向都是無限的，若對每個整數n皆有，則稱序列(1)為環A上的上復形。把模同態稱為上邊緣同態或上邊緣運算元。為簡便起見，用代表復形序列(1).如果記，則序列(1)可以表示為：
且，把序列(2)稱為環A上的復形或鏈，模同態d稱為邊緣同態或邊緣運算元。
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶，有：
設E與F為兩個幺半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是幺半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情況下，后一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射是群胚的同態，而並不因此就是幺半群的同態)。
設G為乘法群，而a為G的元素。由關係所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態。這就是說，對A的任一元素偶，有：
並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
同態的概念能用抽象的方式加以推廣。
鏈群是建立同調群的重要概念。設K是一個n維復形，它的全體q維單形的集合記為設sq是q維單形s任意選定了一個定向後形成的有向單形，當時，記，則這樣的有向單形組：
稱為復形K的有向單形的一個基本組。對於整數加群Z中的整數g，約定，則以整數為係數的任意一個線性組合：
稱為K的一個q維鏈；當其係數全為零時，這個鏈用0表示。若另有q維鏈：
定義它們的和為
則對這樣的加法，K的全體q維鏈形成一個自由交換群，稱為K的q維鏈群，記為，或簡記為。基本組為這鏈群的一組基。為了方便也可將q推廣到所有整數，當時，規定。