三重積分

定義體積元素設三元函數z=f(x,y,z）定義在有界閉區域Ω上將區域Ω任意分成n個子域Δvi(i=123…，n）並以Δvi表示第i個子域的體積.在Δvi上任取一點（ξiηiζi）作和（n/i=1 Σ（ξiηiζi）Δvi）.如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時，此和式的極限存在，則稱此極限為函數f(x,y,z）在區域Ω上的三重積分，記為∫∫∫f(x,y,z)dv，即Ω∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 （n/i=1 Σf（ξi，ηi，ζi）Δvi），其中dv叫做體積元素。Ω術語∫∫∫‥‥‥三重積分號f(x,y,z）‥‥‥被積函數f(x,y,z)dv‥‥‥被積表達式dv‥‥‥體積元x,y,z‥‥‥積分變數Ω‥‥‥積分區域Σf（ξi，ηi，ζi）Δδi‥‥‥積分和

性質

性質1∫∫∫kf（x，y，z）dv=k∫∫∫f（x，y，z）dv （k為常數）。Ω Ω性質2線性性質：設α、β為常數，則∫∫∫[αf(x,y,z)±βg(x,y,z)]dv=α∫∫∫f(x,y,z)dv±β∫∫∫g(x,y,z)]dv。Ω Ω Ω性質3如果空間閉區域G被有限個曲面分為有限個子閉區域，則在G上的三重積分等於各部分閉區域上三重積分的和。性質4如果在G上，且f(x,y,z）═1，v為G的體積，則v═∫∫∫1dv═∫∫∫dv.Ω Ω性質5如果在G上，f(x,y,z）≤φ（xyz），則有，∫∫∫f(xyz)dv≤∫∫∫φ（x,y,z)dv，特殊地，∫∫∫f(x,y,z)dv∣≤∫∫∫f(x,y,z)dv.ΩΩ Ω Ω性質6設M、m分別為f(x,y,z）在閉區域G上的最大值和最小值，v為G的體積，則有mv≤∫∫∫f(x,y,z)dv≤Mv.Ω性質7（積分中值定理）設函數f(x,y,z）在閉區域G上連續，v是G的面積，則在G上至少存在一個點（ζ，η，μ）使得∫∫∫f(x,y,z)dv═f（ζ，η，μ）v。Ω

計算方法

1直角坐標系法適用於被積區域Ω不含圓形的區域，且要注意積分表達式的轉換和積分上下限的表示方法⑴先一后二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。①區域條件：對積分區域Ω無限制；②函數條件：對f（x,y,z）無限制。⑵先二后一法（截面法）：先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。①區域條件：積分區域Ω為平面或其它曲面（不包括圓柱面、圓錐面、球面）所圍成；②函數條件：f（x，y，）僅為一個變數的函數。2柱面坐標法適用被積區域Ω的投影為圓時，依具體函數設定，如設x2+y2=a2,x=asinθ，y=acosθ①區域條件：積分區域Ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合；②函數條件：f（x,y,z）為含有與x2+y2（或另兩種形式）相關的項。3球面坐標系法適用於被積區域Ω包含球的一部分。①區域條件：積分區域為球形或球形的一部分，錐面也可以；②函數條件：f（x,y,z）含有與x2+y2+z2相關的項。

幾何意義

就是立體的質量。當積分函數為1時，就是其密度分佈均勻且為1，質量就等於其體積值。當積分函數不為1時，說明密度分佈不均勻。

應用

設Ω為空間有界閉區域，f（x，y，z）在Ω上連續；如果Ω關於xOy（或xOz或yOz）對稱，且f（x，y，z）關於z（或y或x）為奇函數，則：∫∫∫f（x，y，z）dv=0.Ω如果Ω關於xOy（或xOz或yOz）對稱，Ω1為Ω在相應的坐標面某一側部分，且f（x，y，z）關於z（或y或x）為偶函數，則：∫∫∫f（x，y，z）dV=2∫∫∫f（x，y，z）dvΩ Ω1如果Ω與Ω’關於平面y=x對稱，則：∫∫∫f（x，y，z）dv=∫∫∫f（y，x，z）dvΩ Ω’1