積分不等式

分析數學中常用到下列積分不等式。

楊不等式設是定義在上滿足的嚴格單調增加的連續函數是的反函數，則對任何

有

當且僅當時，上式中等號成立(見圖)。

特別，當時，令由楊不等式得到。

當且僅當時，上式中等號成立。

赫爾德不等式 設是測度空間(見測度論)，分別在次可積，則 上可積，並且上式中等號成立當且僅當存在實數及不全為零的實數，使得等式

在上幾乎處處成立。

由積分的赫爾德不等式立即可得級數的赫爾德不等式：設

式中則絕對收斂，並且上式中等號成立當且僅當存在實數以及不全為零的非負實數 和 使對所有自然數且

施瓦茲不等式赫爾德不等式中用得最普遍的是的情況，此時的赫爾德不等式稱為施瓦茲不等式，有時也稱為柯西不等式或布尼亞科夫斯基不等式。它的積分形式、級數形式分別為上面兩式中等號成立的充要條件分別是存在兩個不全為零的常數，使得

在E上幾乎處處成立和對一切自然數

閔科夫斯基不等式設是測度空間，都是可積函數，則次可積，並且當時，上式中等號成立的充要條件是存在不全為零的非負實數，使得在上幾乎處處成立；當時，上式中等號成立的充要條件是，在上幾乎處處成立。由積分的閔科夫斯基不等式，可得級數的閔科夫斯基不等式：如果由積分的閔科夫斯基不等式，可得級數的閔科夫斯基不等式：如果，，則

當時，上式中等號成立當且僅當存在不全為零的非負實數使對一切自然數；當時，上式中等號成立當且僅當對一切自然數

延伸不等式 設上有限實函數，如果對任何以及任何正數都有

則稱上的下凸函數。如果上的下凸函數，則對任何以及任何正數有延森不等式：

積分形式的延伸不等式：設上的下凸函數，又設是測度空間，是上非負可積函數，並且，而上可測函數，並且則。