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測度

對集合某些子集指數值的函數

測度,數學術語。數學上,測度(Measure)是一個函數,它對一個給定集合的某些子集指定一個數,這個數可以比作大小、體積、概率等等。傳統的積分是在區間上進行的,後來人們希望把積分推廣到任意的集合上,就發展出測度的概念,它在數學分析和概率論有重要的地位。

測度論是實分析的一個分支,研究對象有σ代數、測度、可測函數和積分,其重要性在概率論和統計學中都有所體現。

定義


義:構造一個集函數,它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函數稱為E的測度。
義:設Γ是集合X上一σ代數,是一集合函數,且ρ滿足 :
()(非負),有;
(2)(規範性);
(3)(完全可加性)對任意的一列兩兩不交集合有
則稱ρ是定義在X上的一個測度,Γ中的集合是可測集,不在Γ中的集合是不可測集。特別的,若 ,則稱ρ為概率測度。

性質


下面的一些性質可從測度的定義導出:
單調性
測度 的單調性:若 和 為可測集,而且 ,則 。
可數個可測集的並集的測度
若 為可測集(不必是兩兩不交的),則集合的並集是可測的,且有如下不等式(“次可列可加性”):
如果還滿足並且對於所有的, ,則如下極限式成立:
可數個可測集的交集的測度
若 為可測集,並且對於所有的, ,則 的交集是可測的。進一步說,如果至少一個的測度有限,則有極限:
如若不假設至少一個 的測度有限,則上述性質一般不成立。例如對於每一個,令 這裡,全部集合都具有無限測度,但它們的交集是空集。

完備性


一個可測集 稱為零測集,如果 。零測集的子集稱為可去集,它未必是可測的,但零測集自然是可去集。如果所有的可去集都可測,則稱該測度為完備測度。
一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度:考慮 的所有這樣的子集 F,它與某個可測集 E僅差一個可去集,也就是說 E與 F的對稱差包含於一個零測集中。由這些子集 F生成的σ代數,並定義 的值就等於。

例子


下列是一些測度的例子(順序與重要性無關)。
計數測度定義為 的“元素個數”。
一維勒貝格測度是定義在 的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足的唯一測度。
Circular angle測度是旋轉不變的。
局部緊拓撲群上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣,而且也有類似的刻劃。
恆零測度定義為,對任意的。
每一個概率空間都有一個測度,它對全空間取值為1(於是其值全部落到單位區間中)。這就是所謂概率測度。見概率論公理。
其它例子,包括:狄拉克測度、波萊爾測度、若爾當測度、遍歷測度、歐拉測度、高斯測度、貝爾測度、拉東測度。