測度
對集合某些子集指數值的函數
測度，數學術語。數學上，測度（Measure）是一個函數，它對一個給定集合的某些子集指定一個數，這個數可以比作大小、體積、概率等等。傳統的積分是在區間上進行的，後來人們希望把積分推廣到任意的集合上，就發展出測度的概念，它在數學分析和概率論有重要的地位。
測度論是實分析的一個分支，研究對象有σ代數、測度、可測函數和積分，其重要性在概率論和統計學中都有所體現。
義：構造一個集函數，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函數稱為E的測度。
義：設Γ是集合X上一σ代數，是一集合函數，且ρ滿足 ：
（）（非負），有;
（2）（規範性）；
（3）（完全可加性）對任意的一列兩兩不交集合有
則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若 ，則稱ρ為概率測度。
下面的一些性質可從測度的定義導出：
單調性
測度 的單調性：若 和 為可測集，而且 ，則 。
可數個可測集的並集的測度
若 為可測集（不必是兩兩不交的），則集合的並集是可測的，且有如下不等式（“次可列可加性”）：
如果還滿足並且對於所有的， ，則如下極限式成立：
可數個可測集的交集的測度
若 為可測集，並且對於所有的， ，則 的交集是可測的。進一步說，如果至少一個的測度有限，則有極限：
如若不假設至少一個 的測度有限，則上述性質一般不成立。例如對於每一個，令 這裡，全部集合都具有無限測度，但它們的交集是空集。
一個可測集 稱為零測集，如果 。零測集的子集稱為可去集，它未必是可測的，但零測集自然是可去集。如果所有的可去集都可測，則稱該測度為完備測度。
一個測度可以按如下的方式延拓為完備測度：考慮 的所有這樣的子集 F，它與某個可測集 E僅差一個可去集，也就是說 E與 F的對稱差包含於一個零測集中。由這些子集 F生成的σ代數，並定義 的值就等於。
下列是一些測度的例子（順序與重要性無關）。
計數測度定義為 的“元素個數”。
一維勒貝格測度是定義在 的一個含所有區間的σ代數上的、完備的、平移不變的、滿足的唯一測度。
Circular angle測度是旋轉不變的。
局部緊拓撲群上的哈爾測度是勒貝格測度的一種推廣，而且也有類似的刻劃。
恆零測度定義為，對任意的。
每一個概率空間都有一個測度，它對全空間取值為1（於是其值全部落到單位區間中）。這就是所謂概率測度。見概率論公理。
基本信息
- 中文名
- 測度
- 外文名
- Measure
- 術語類別
- 數學術語
- 定義
- 對給定集合的某些子集指定一個數
- 種類
- 計數測度，哈爾測度等
- 應用學科
- 數學
- 所屬學科
- 測度論