琴生不等式

1.若f(x)是區間上的下凸函數，則對任意的, 有不等式:

當且僅當時等號成立。

2.其加權形式為：

若f(x)是區間上的下凸函數，則對任意的, 且 為正數，有

當且僅當 時等號成立.

有了這個結論以後，使用琴生不等式就非常方便了，

如今我們可以非常容易的證明一般情況的平均不等式

比如

1.

2.

3.

其中前面兩個取就可以了

後面一個取 就可以了。

舉一個簡單的例子: 在中為凸函數 (國外教材定義; 若為凹函數, 則國內教材定義)

同時，值得注意的是, 上凸、下、凹、凸的含義是不同的。

假設是實線的可測子集, f(x) 是一個非負函數

在概率語言中, f 是概率密度函數。

然後Jensen的不等式變成了關於凸積分的下面的陳述：

如果g是任何實值可測函數且在g的範圍內是凸的, 那麼：

如果 , 那麼這種不等式的形式可以簡化為一個常用的特例:

如果, 並且 X 是一個隨機變數, 那麼g是凸的

所以

特別是，如果有的甚至瞬間 2 N的 X 是有限的, X 具有有限的均值。這個論證的延伸表明 X 具有每個階的有限矩 劃分

令 , 並且以 為上的計數度量, 則一般形式簡化為關於和的聲明:

條件是和

還有一個無限的離散形式。

當凸函數是指數函數時，Jensen不等式在統計物理學中特別重要，給出：

其中期望值是關於隨機變數X中的一些概率分佈。

這種情況下的證明非常簡單（參見Chandler，第5.5節）。理想的不平等直接來自書寫

然後應用不等式至最終指數。

如果 p(X) 是用於真正的概率分佈X和 q(X) 是另一種分佈，然後施加Jensen不等式隨機變數數 給出

因此：

一個稱為吉布斯不平等的結果。

它表明, 當代碼是基於真實概率p而不是任何其他分佈q分配時, 平均消息長度被最小化。即非負的量被稱為相對熵的 q 從 由於為嚴格凸函數, 它遵循: 當等號成立 p(X) 等於 q(X) 幾乎無處不在。

主要文章：Rao-Blackwell定理

如果L是一個凸函數, 一個亞西格瑪代數，然後, 從Jensen不等式的條件版本中, 我們可以得到

所以如果是給定一個可觀測量向量 X 的末觀測參數Ө的估計量;如果 T(X) 是Ө的充分統計量;那麼可以通過計算獲得改 進的估計量，即具有較小的預期損失L的意義

相對於的期望值ठ在所有可能的觀察值向量 X 上都可以與觀察到的相同的 T(X) 值相匹配。

這個結果被稱為Rao-Blackwell定理。