平衡不完全區組設計
平衡不完全區組設計
平衡不完全區組設計(balanced incomplete block design)，簡稱BIBD，是一類重要的區組設計。若X為v元點集，居為X的一些k元子集組成的族(這些k元子集稱為區組)，使得X中的任意點對恰好出現在幾個區組中，則稱區組設計為一個平衡不完全區組設計。
將v個水平安排到b個區組中，若滿足以下幾個條件，稱為平衡區組設計：
（1）每個區組包含k個水平一區組大小；
（2）每個水平在r個區組中出現一水平重複數；
（3）每對水平在λ個區組中相遇一相遇數。
若，且B是平衡區組設計，則B是一個平衡不完全區組設計(BIBD)。
平衡不完全區組設計有五個參數：
（1）b：區組數；
（2）v：水平數；
（3）k：在每個區組中水平的個數；
（4）r：包含每個水平的區組的個數；
（5）λ：包含每對水平的區組的個數。
在這裡我們稱b、v、k、r、λ為BIBD的參數。
定義：BIBD的關聯矩陣為v x b階的陣：
關聯矩陣有以下幾個基本性質：
（1）A的每一行和為r；
（2）A的每一列和為k；
（3）A的任意兩行的內積為λ。
（1）定理1：在一個BIBD中，每個處理含於r個區組中，其中：
1）推論1：在BIBD中，有。
證明：通過行來計算，BIBD的關聯矩陣A中1的個數為6k。通過列來計算，則A中1的個數為vr。因為兩種計數方法的結果相等，所以有 。
2）推論2：在BIBD中，有。
證明：根據定義，在BIBD中，有，從而，使用定理1的結果，顯然成立。
（2）定理2：Fisher不等式：在一個BIBD中，。
（3）在一個BIBD中，有參數和，如果，那麼。反之也成立。
（1）經濟性：
全部試驗水平可以不安排在同一個區組內進行，對區組的要求較低，經濟的解決了試驗成本。
（2）平衡性：
1)每個試驗水平重複次數相同(r相同)；
2)每個區組包含的水平個數相同(k相同)；
3)任意兩個水平對，在整個試驗中出現的重複次數相同(λ相同)。
（3）靈活性：
可以根據k的大小，靈活、分散的進行試驗。
（4）計算的嚴密性：
平衡不完全設計的缺點是：計算複雜。