常微分方程

本書是“21世紀高等學校經濟數學教材”叢書之一．全書共8章，內容分別為：緒論、初等積分法、一階常微分方程解的存在唯一性、高階微分方程、一階線性微分方程組、穩定性理論簡介、一階線性偏微分方程和差分方程。書末附有習題參考答案及提示．全書詳細介紹了常微分方程的基本理論和常用解法，理論嚴謹，敘述深入淺出；注重思想方法的闡述、概念實質的揭示和近代數學觀念的滲透；強調微分方程的實際應用（幾乎每章都有應用實例），尤其是在社會、經濟、生態領域中的應用，體現了財經類專業的教育特色．

本書可作為高等院校數學與應用數學、信息與計算科學、數量經濟、金融工程等專業本科生的教學用書，也可供經濟類各專業的教師與研究生參考．

第一章 緒論

1.1微分方程模型

習題1.1

1.2常微分方程的基本概念

習題1.2

第二章 初等積分法

2.1分離變數法

習題2.1

2.2變數替換法

2.2.1齊次方程

2.2.2可化為齊次的方程

2.2.3一階線性方程

2.2.4Bernoulli方程

2.2.5Riccati方程

習題2.2

2.3積分因子法

2.3.1全微分方程的定義與判別條件

2.3.2全微分方程的求解

2.3.3積分因子

習題2.3

2.4參數法

2.4.1可解出y或x的隱式方程

2.4.2不顯含y或x的隱式方程

習題2.4

2.5應用實例

2.5.1商品市場價格與需求量（供給量）的關係

2.5.2預測可再生資源的產量，預測商品的銷售量

2.5.3成本分析

2.5.4關於國民收入、儲蓄與投資的關係問題

習題2.5

第三章 一階常微分方程解的存在唯一性

3.1Picard存在唯一性定理

3.1.1一階顯式微分方程

3.1.2一階隱式方程

習題3.1

3.2不動點定理與解的存在性

習題3.2

3.3解的延拓

習題3.3

3.4解對初值與參數的連續性與可微性

3.4.1Gronwall不等式

3.4.2解對初值和參數的連續性

3.4.3解對初值和參數的連續可微性

習題3.4

3.5常微分方程的特徵值問題

3.5.1SturmLiouville問題

3.5.2SturmLiouville問題解的性質

習題3.5

第四章 高階微分方程

4.1高階微分方程的降階法

4.1.1不顯含未知函數x的方程

4.1.2不顯含自變數t的方程

習題4.1

4.2高階線性微分方程的一般理論

4.2.1初值問題解的存在唯一性定理

4.2.2齊次線性方程解空間的結構

4.2.3非齊次線性方程解集合的性質

習題4.2

4.3常係數齊次線性方程的待定指數函數法

4.3.1復值函數與復值解

4.3.2常係數齊次線性方程的待定指數函數法

4.3.3Euler方程

習題4.3

4.4常係數非齊次線性方程的待定係數法

習題4.4

4.5應用實例

習題4.5

第五章 一階線性微分方程組

5.1一階線性微分方程組的一般理論

5.1.1一階線性微分方程組的基本概念

5.1.2一階線性微分方程組與高階線性微分方程的關係

5.1.3存在唯一性定理

5.1.4一階齊次線性微分方程組解空間的結構

5.1.5一階齊次線性微分方程組的基解矩陣的性質

5.1.6一階非齊次線性微分方程組解集合的性質

習題5.1

5.2一階常係數線性微分方程組

5.2.1矩陣指數函數exp（At）

5.2.2常係數齊次線性微分方程組的解法

5.2.3常係數非齊次線性微分方程組的常數變易公式

習題5.2

5.3應用實例

習題5.3

第六章 穩定性理論簡介

6.1穩定性概念

6.1.1穩定性定義

6.1.2穩定性的線性近似判定

習題6.1

6.2Lyapunov函數判別法

6.2.1常正（負）函數與定正（負）函數

6.2.2自治系統穩定性的Lyapunov判別法

6.2.3自治系統不穩定性的Lyapunov判別法

習題6.2

6.3應用實例

第七章 一階線性偏微分方程

7.1基本概念

7.2一階線性偏微分方程的求解

7.2.1首次積分

7.2.2常微分方程組與一階線性偏微分方程

7.2.3利用首次積分求解常微分方程組

7.2.4一階齊次線性偏微分方程的求解

7.2.5一階擬線性偏微分方程的求解

習題7.2

7.3Cauchy問題

7.3.1一階線性（擬線性）偏微分方程求解的幾何解釋

7.3.2Cauchy問題

習題7.3

第八章 差分方程

8.1差分和差分方程的概念

8.1.1差分的定義

8.1.2差分的性質和運演演算法則

8.1.3差分方程的概念

習題8.1

8.2常係數差分方程解的結構

8.3差分方程模型

8.3.1一般蛛網模型

8.3.2HansenSamuelson模型（國民收入分析模型）

8.4常係數線性差分方程的求解

8.4.1一階常係數線性差分方程

8.4.2二階常係數線性差分方程

習題8.4

習題參考答案及提示

參考文獻