常微分方程

本書分為7章：基本概念，一階方程的初等積分法，一階方程的一般理論，高階微分方程，微分方程組，定性理論與穩定性理論初步，差分方程。內容取材精練，注重概念實質的揭示、定理思路的闡述、應用方法的介紹和實際例子的分析，並配合內容引入了數學軟體。每章配有習題，全部計算題都有答案，個別證明題有提示。

本書可用作師範院校、理工科大學的數學類各專業的教科書和部分理工科其他專業的參考書。

第1章基本概念

1.1微分方程的例子

習題1.1

1.2基本概念

1.2.1常微分方程和偏微分方程

1.2.2解和通解

1.2.3積分曲線和積分曲線族

習題1.2

第2章 一階方程的初等積分法

2.1變數可分離方程

習題2.1

2.2齊次方程

習題2.2

2.3一階線性方程

習題2.3

2.4全微分方程

2.4.1全微分方程

2.4.2積分因子

習題2.4

2.5一階隱方程

2.5.1可解出y的方程

2.5.2不顯含x的方程

習題2.5

2.6應用舉例

習題2.6

第3章 一階方程的一般理論

3.1微分方程及其解的幾何解釋

3.1.1方向場

3.1.2圖像法

3.1.3歐拉折線

習題3.1

3.2畢卡存在與唯一性定理

習題3.2

3.3解的延拓

習題3.3

3.4解對初值的連續性

習題3.4

3.5解對初值的可微性

習題3.5

3.6一階隱方程的奇解

3.6.1一階隱方程解的存在與唯一性定理

3.6.2p?判別曲線法

3.6.3c?判別曲線法

習題3.6

第4章高階微分方程

4.1高階微分方程

4.1.1引論

4.1.2高階微分方程的降階法

習題4.1

4.2高階線性齊次微分方程

4.2.1線性齊次微分方程的一般理論

4.2.2常係數線性齊次微分方程的解法

4.2.3某些變係數線性齊次微分方程的解法

習題4.2

4.3二階線性齊次微分方程的冪級數解法

4.3.1引言

4.3.2常點鄰域內的冪級數解

4.3.3正則奇點鄰域內的廣義冪級數解

4.3.4兩個特殊方程

習題4.3

4.4高階線性非齊次微分方程

4.4.1線性非齊次微分方程的一般理論

4.4.2常係數線性非齊次微分方程的解法

習題4.4

4.5應用舉例

4.5.1彈簧振動問題

4.5.2電磁振蕩問題

4.5.3彈簧振動的微分方程的求解

習題4.5

第5章微分方程組

5.1微分方程組的基本概念

5.1.1引言

5.1.2解的存在唯一性定理

5.1.3化為高階方程法和可積組合法

習題5.1

5.2線性齊次微分方程組

5.2.1線性齊次微分方程組的一般理論

5.2.2常係數線性齊次微分方程組的解法

習題5.2

5.3一階線性非齊次微分方程組

5.3.1線性非齊次微分方程組的一般理論

5.3.2常係數線性非齊次微分方程組的解法

習題5.3

5.4應用舉例

5.4.1捕食者與被捕食者的生態問題

5.4.2多迴路的電路問題

習題5.4

第6章定性理論與穩定性理論初步

6.1定常系統

6.1.1動力系統、相空間與軌線

6.1.2定常系統軌線的類型

習題6.1

6.2平面定常系統的奇點

6.2.1線性系統的奇點

6.2.2非線性系統的奇點

習題6.2

6.3解的穩定性

6.3.1李雅普諾夫(Liapunov)穩定性的概念

6.3.2按線性近似法判別穩定性

6.3.3李雅普諾夫直接法

習題6.3

6.4極限環

6.4.1極限環的概念

6.4.2極限環存在性的判別

習題6.4

第7章差分方程

7.1基本概念

習題7.1

7.2一階差分方程

7.2.1一階線性差分方程

7.2.2一階非線性差分方程

習題7.2

7.3高階線性差分方程的一般理論

7.3.1解的簡單性質

7.3.2通解的結構

7.3.3阿貝爾(Abel)定理

習題7.3

7.4二階常係數線性差分方程的解法

7.4.1Rn≡0的情形

7.4.2Rn?0的情形

習題7.4

附錄A常微分方程發展概要

附錄B答案與提示