定理

在數學里，定理是指在既有命題的基礎上證明出來的命題，這些既有命題可以是別的定理，或者廣為接受的陳述，比如公理。數學定理的證明即是在形式系統下就該定理命題而作的一個推論過程。定理的證明通常被詮釋為對其真實性的驗證。由此可見，定理的概念基本上是演繹的，有別於其他需要用實驗證據來支持的科學理論。

有許多數學定理都是條件句，此時定理的證明是從假設出發，推出結論。因為證明跟真實性往往被連繫起來，所以結論也常被視作是假設的必然結果。也就是說，假設成立的話，結論也成立，毋需加上額外條件。但要指出的是，條件句式在不同的形式系統下可以有著不同的詮釋，視乎如何對當中的推理規則和蘊含符號作解讀。

雖然定理可在命題邏輯的框架下完全用符號寫成，但它們還是多數用自然語言（例如漢語）表達。證明亦然，也是以有邏輯和有組織的方式，用含意清晰的文字陳述出一個（非正式的）論證，使得讀者能夠理解並跟隨整個證明的脈胳，以至最終對命題真確性的信服。如有必要的話，也可從原本文字重構出（正式的）符號形式的論證。文字形式的論證顯然要比純符號方便人們閱讀—而事實上，數學家往往也偏好某些證明，它們除了顯示命題為真之外，更是從某種角度解釋了為何命題必須為真。有時候，一張圖的勾勒就足以證明一個定理。因為定理及其證明是處於數學的核心，它們很大程度上也是數學之美的體現。定理有時被描述為”平凡” 、”困難”，或者”深入” ，而更甚是”美麗”。這些主觀判斷不只因人而異，且隨著時間推移也可能有變：就例如，由於證明被簡化或變得更易懂，本來顯得困難的原命題也變成平凡的了。另一方面，一個深邃的定理可以被簡單地表述，但其證明可以揭示出數學領域間叫人驚奇，而又微妙的隱秘關係。費馬最後定理正是如此的一個典型例子。

1、通過真命題（公理或其他已被證明的定理）出發，經過受邏輯限制的演繹推導，證明為正確的結論的命題或公式，例如“平行四邊形的對邊相等”就是平面幾何中的一個定理。

2、一般來說，在數學中，只有重要或有趣的陳述才叫定理，證明定理是數學的中心活動。相信為真但未被證明的數學敘述為猜想，當它被證明為真后便是定理。它是定理的來源，但並非唯一來源。一個從其他定理引伸出來的數學敘述，可以不經過證明成為猜想的過程，成為定理。

如上所述，定理需要某些邏輯框架，繼而形成一套公理（公理系統）。同時，一個推理的過程，容許從公理中引出新定理和其他之前發現的定理。

在命題邏輯中，所有已證明的敘述都稱為定理。

經過長期實踐后公認為正確的命題叫做公理。用推理的方法判斷為真的命題叫做定理。

定理一般都有假定——即一些條件。然後它有結論——一個在條件下成立的數學敘述。通常寫作「若條件，則結論」。用符號邏輯來寫就是條件→結論。而當中的證明不視為定理的成分。

若存在某敘述為A→B，其逆敘述就是B→A。敘述和逆敘述均成立的情況是A↔B。某敘述成立，不代表其原敘述一定成立。一旦我們這樣錯誤地認為，那就是犯了肯定後件（affirming the consequent）的謬誤，也稱作倒因為果。其形式為：P→Q、Q；因此，P。

若果敘述是定理，其成立的逆敘述就是 逆定理。

• 若某敘述和其逆敘述都為真，稱A是B的必要且充分條件，簡稱充要條件。

• 若某敘述為真，其逆敘述為假，條件充足。

• 若某敘述為假，其逆敘述為真，條件必要。

定理是建立在公理和假設基礎上，經過嚴格的推理和證明得到的，它能描述事物之間內在關係，定理具有內在的嚴密性，不能存在邏輯矛盾。比如：勾股定理，隱含公理是平直的歐幾里得空間，假設是直角三角形。要明白定理的來源，首先我們必須了解公理，公理是不證自明的真理，是建立科學的基礎，歐幾里得《幾何原本》就是建立在五條公理基礎上嚴密的邏輯體系。公理和定理的區別主要在於：公理的正確性不需要用邏輯推理來證明，而定理的正確性需要邏輯推理來證明。在物理學中而定理是通過數學工具（如微積分）推理得來的，如動能定理；定律是由實驗得出或驗證的，如機械能守恆定律。

原理與定理極其近似但又稍有區別，原理只要求用自然語言表達（當然並不排除數學表達），定理則著重於反映原理的數學性。因此，在表達時一定要用數學式來闡明，如“帕斯卡原理”：在密閉容器內，液體向各個方向傳遞的壓強相等。