整數分解

完整的因子列表可以根據約數分解推導出，將冪從零不斷增加直到等於這個數。例如，因為，45可以被 ， ， ， ， ，和，或者 1，5，3，9，15，和 45整除。相對應的，約數分解只包括約數因子。

給出兩個大約數，很容易就能將它們兩個相乘。但是，給出它們的乘積，找出它們的因子就顯得不是那麼容易了。這就是許多現代密碼系統的關鍵所在。如果能夠找到解決整數分解問題的快速方法，幾個重要的密碼系統將會被攻破，包括RSA公鑰演演算法和Blum Blum Shub隨機數發生器。

儘管快速分解是攻破這些系統的方法之一，仍然會有其它的不涉及到分解的其它方法。所以情形完全可能變成這樣：整數分解問題仍然是非常困難，這些密碼系統卻是能夠很快攻破。有的密碼系統則能提供更強的保證：如果這些密碼系統被快速破解（即能夠以多項式時間複雜度破解），則可以利用破解這些系統的演演算法來快速地（以多項式時間複雜度）分解整數。換句話說，破解這樣的密碼系統不會比整數分解更容易。這樣的密碼系統包括Rabin密碼系統（RSA的一個變體）以及Blum Blum Shub隨機數發生器。

2005年，作為公共研究一部分的有663個二進位數位之長的RSA-200已經被一種一般用途的方法所分解。

如果一個大的，有n個二進位數位長度的數是兩個差不多大小相等的約數的乘積，現在還沒有很好的演演算法來以多項式時間複雜度分解它。

這就意味著沒有已知演演算法可以在O（n）（k為常數）的時間內分解它。但是現在的演演算法也是比Θ(e)快的。換句話說，現在我們已知最好的演演算法比指數數量級時間要快，比多項式數量級時間要慢。已知最好的漸近線運行時間是普通數域篩選法(GNFS)。時間是：

對於平常的計算機，GNFS是我們已知最好的對付n個二進位數位大約數的方法。不過，對於量子計算機，彼得·秀爾在1994年發現了一種可以用多項式時間來解決這個問題的演演算法。如果大的量子計算機建立起來，這將對密碼學有很重要的意義。這個演演算法在時間上只需要O(n)，空間只要O(n)就可以了。構造出這樣一個演演算法只需要2n量子位。2001年，第一個7量子位的量子計算機第一個運行這個演演算法，它分解的數是15。

現在還不確切知道整數分解屬於哪個複雜度類。

我們知道這個問題的判定問題形式（“請問N是否有一個比M小的約數?”）是在NP與反NP之中。因為不管是答案為是或不是，我們都可以用一個素因數以及該素因數的素數證明來驗證這個答案。由秀爾演演算法可知，這個問題在BQP中。大部分的人則懷疑這個問題不在P、NP完全、以及反NP完全這三個複雜性類別中。如果這個問題可以被證明為NP完全或反NP完全，則我們便可推得。這將會是個很震憾的結果，也因此大多數人猜想整數分解這個問題不在上述的複雜性類別中。也有許多人嘗試去找出多項式時間的演演算法來解決這個問題，但是都尚未成功，因此這個問題也被多數人懷疑不在P中。

有趣的是，判定一個整數是否是素數則比分解該整數簡單許多。AKS演演算法證明前者可以在多項式時間中解決。測試一個數是否為素數是RSA演演算法中非常重要的一環，因為它在一開始的時候需要找很大的素數。

一個特別的因子分解演演算法的運行時間依賴它本身的未知因子：大小，類型等等。在不同的演演算法之間運行時間也是不同的。

• 試除法

• 車輪分解

• 波拉德RHO演演算法

• 代數群因式分解演演算法，其中包括Pollard'sp−1演演算法、Williams'p+1演演算法和Lenstra橢圓曲線分解法

• 費馬素數判定法

• 歐拉因式分解法

• 特殊數域篩選法

一般用途演演算法的運行時間僅僅依賴要分解的整數的長度。這種演演算法可以用來分解RSA數。大部分一般用途演演算法基於平方同餘方法。

• Dixon演演算法

• 連分數分解法（CFRAC）

• 二次篩選法

• 理性篩選法

• 普通數域篩選法

• Shanks' square forms factorization（SQUFOF）

• 秀爾演演算法