自相關估計

自相關函數是隨機信號在不同時刻的值之間的依賴性的量度，是一個很有用的統計平均量，其定義為自相關函數

(1)

式中E【·】表示數學期望，*表示共軛值,m為時間滯后數。

在隨機信號處理中，自相關函數可以用來檢測淹沒在隨機雜訊干擾中的信號，隨機信號的自功率譜等於它的自相關函數的傅里葉變換。因此，通過自相關估計可求得信號的功率譜。

利用計算機計算自相關估值有兩種方法。一種是直接方法，先計算出隨機信號和它的滯後序列的乘積，再取其平均值即得相關函數的估計值。另一種是間接方法，先用快速變換演演算法計算隨機序列的功率譜密度，再作反變換計算出相關函數。

直接演演算法　設離散隨機信號序列x(n)是平穩的，其長度為N，自相關函數的估值記作惲，定義為

(2)

式中K為滯后數的最大值。由於估計值的均值E【惲Nx(m)】不等於自相關函數的真值，因而它是自相關函數的有偏估計。如果把 惲式中的比例係數改成，即令

(3)

它的均值，因而是無偏的估計。顯然，設m為有限值，當,則從式(2)可以得到漸近無偏估計。計算m個滯后數時的自相關估計約需次實數乘加運算。

間接演演算法　間接方法是利用快速傅里葉變換的方法計算出功率譜密度函數的估值，然後再計算它的傅里葉反變換，即得自相關函數估值。由於採用了快速傅里葉變換演演算法，計算速度較快。如當時，間接演演算法所需要的運算量約為8NP次實數乘加運算。因此，兩種方法的速度比是如，則，即間接演演算法比直接演演算法約快8倍。在用間接演演算法計算相關函數時，需要把隨機信號序列的長度補零擴大到之後再計算其相關函數。

何振亞：《數字信號處理的理論與應用》下冊，人民郵電出版社，北京，1983。

J.S.Bendat et al. ,Random Data: Analysis　and Measurement　Procedures，Wiley-Interscience，New York,1971.