多項式環

多項式函數與多項式

在初等數學與微積分中，多項式視同多項式函數，兩者在一般的域或環上則有區別。舉例言之，考慮有限域 上的多項式

此多項式代任何值皆零，故給出零函數，但其形式表法非零。

我們寧願將多項式看作形式的符號組合，以得到較便利的代數理論。且考慮多項式在域擴張之下的性質：就函數觀點，多項式函數在域擴張下的行為頗複雜，上述 給出 上的零函數，但視為 上的多項式函數則非零；而就形式觀點，只須將係數嵌入擴張域即可。

於是我們採取下述定義：令R 為環。一個單變元X 的多項式 定義為下述形式化的表法：

其中，稱作 的係數，而X 視作一個形式符號。兩多項式相等當且僅當每個 的係數均相同。次數最大的非零係數稱為該多項式的領導係數，或者首項係數。

更嚴謹的說法或許是將多項式定義為係數的序列，使得其中僅有有限項非零。但是我們在實踐上總是用變元 X及其冪次表達。

以下固定環 R，我們將推廣初等數學中熟悉的多項式運算。

多項式的加法由係數逐項相加定義，而乘法則由下列法則唯一地確定：

分配律：對所有R上的多項式，恆有

對所有，有

對所有非負整數有

運算的具體表法如下：

當 R 是交換環時，是個 R 上的代數。

設 而為另一多項式，則可定義兩者的合成為

對於任一多項式 及，我們可考慮 對r的求值：

固定，則得到一個環同態，稱作求值同態；此外它還滿足

在微積分中，多項式的微分由微分法則確定。雖然一般的環上既無拓撲結構更無完備性，我們仍然可形式地定義多項式的導數為：

這種導數依然滿足 與 等性質。對於係數在域上的多項式，導數也可以判定重根存在與否。

上述定義可以推廣到任意個變元（包括無限個變元）的情形。對於有限變元的多項式環，也可以採下述構造：

先考慮兩個變元 X,Y 的例子，我們可以先構造多項式環R[X]，其次構造。可以證明有自然同構，例如多項式

也可以視作

對 亦同。超過兩個變元的情形可依此類推。

若R是域，則是主理想環（事實上還是個歐幾里得整環）。

若R是唯一分解環，則 亦然。

若R是整環，則 亦然。

若R是諾特環，則 亦然；這是希爾伯特基底定理的內容。

任一個交換環R上的有限生成代數皆可表成某個 的商環。

多項式環對理想的商是構造環的重要技術。例子包括從同餘系 構造有限域，或從實數構造複數等等。

弗羅貝尼烏斯多項式是另一個跟多項式環相關的環，此環的乘法系採用多項式的合成而非乘法。