單調函數
單調函數
一般的，不強調區間的情況下，所謂的單調函數是指，對於整個定義域而言，函數具有單調性。而不是針對定義域的子區間而言。舉個例子，反比例函數是一個具有單調性的函數，而不是一個單調函數，因為在反比例函數的定義域上，並不呈現整體的單調性。單調函數只是單調性函數中特殊的一種。區間具有單調性的函數並不一定是單調函數，而單調函數的子區間上一定具有單調性。具有單調性函數可以根據區間不同而單調性不同。
一般地，設函數的定義域為I：
如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2，當時都有,那麼就說在這個區間上是增函數(另一說法為單調不減函數)。
如果，那麼就說在這個區間上是嚴格增函數（另一種說法是增函數）。
如果對於屬於I內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2，當時都有.那麼就是f(x）在這個區間上是減函數(另一種說法為單調不增函數)。如果，那麼就說f(x）在這個區間上是嚴格減函數（另一種說法是減函數）。
為了迴避歧義，下文採取單調不減函數，嚴格增函數，單調不增函數，嚴格減函數等術語。
如果函數在某個區間是增函數或減函數，就稱函數在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做 的單調區間，在單調區間上增函數的函數圖像是上升的，減函數的函數圖像是下降的。
● 函數的單調性也叫函數的增減性；
● 函數的單調性是對某個區間而言的，它是一個局部概念；
判定函數在某個區間上的單調性的方法步驟有兩種主要方法：
● ● 設任意x1、x2給定區間，且.
● ● 計算至最簡。【最好表示為整式乘積的形式】
● ● 判斷上述差的符號。
利用導數公式進行求導，然後判斷導函數和0的大小關係，從而判斷增減性，導函數值大於0，說明是嚴格增函數，導函數值小於0，說明是嚴格減函數，前提是原函數必須是連續的。當導數大於等於0時也可為增函數，同理當導數小於等於0時也可為減函數。
現代數學中，在有序集合之間的函數是單調（monotone）的，如果它們保持給定的次序。這些函數最先出現在微積分中，後來推廣到序理論中更加抽象結構中。儘管概念一般是一致的，兩個學科已經發展出稍微不同的術語。在微積分中，我們經常說函數是單調遞增和單調遞減的，在序理論中偏好術語單調和反單調或序保持和序反轉。
在序理論中，不限制於實數集合，可以考慮任意偏序集合甚至是預序集合。在這些情況下上述定義同樣適用。但是要避免術語"遞增"和"遞減"，因為一旦處理的不是全序的次序就沒有了吸引人的圖像動機。進一步的，嚴格關係 < 和 > 在多數非全序的次序中很少使用，因此不介入它們的額外術語。
設f: P → Q為一函數映射，是在兩個帶有偏序的集合 P 和 Q 之間的函數映射。
如果蘊涵 ，就稱F為單調（monotone）函數，也叫做isotone 或序保持函數。
對偶概念經常叫做反單調、antitone 或序反轉。因此，反單調函數 f 滿足性質蘊涵 ≥ ，
對於它的定義域中的所有 x 和 y。容易看出兩個單調函數的複合也是單調的。
常數函數是單調的也是反單調的；反過來，如果 f 是單調的也是反單調的，並且如果 f 的定義域是全序集，則 f 必定是常量函數。
單調函數是序理論的中心。它們大量出現於這個主題的文章和在這些地方的找到的應用中。
著名的特殊單調函數是序嵌入（當且僅當 的函數）和序同構（雙射序嵌入）。
基本信息
- 中文名
- 單調函數
- 外文名
- Monotonic function
- 拼音
- dān diào hán shù
- 出處
- 數學
- 判定方法
- 定義法、求導法
- 特點
- 單調
- 定義
- f(x1)＜f(x2)，f(x1)＞f(x2)