收斂級數
部分和序列極限存在的級數
收斂級數（convergent series）是柯西於1821年引進的，它是指部分和序列的極限存在的級數。收斂級數的基本性質主要有：級數的每一項同乘一個不為零的常數后，它的收斂性不變；兩個收斂級數逐項相加或逐項相減之後仍為收斂級數；在級數前面加上有限項，不會改變級數的收斂性；原級數收斂，對此級數的項任意加括弧后所得的級數依然收斂；級數收斂的必要條件為級數通項的極限為0。
數項級數的定義
給定一個數列，對它的各項依次用“+”號連接起來的表達式“ ”稱為數項級數，或稱為無窮級數，也可以簡稱為級數，其中稱為數項級數的通項。
上述數項級數常寫作： ，或者簡單記作 。
數項級數的前n項和
數項級數的前 n項和記作，且有 。
部分和數列
稱數列 ，即數列為數項級數的部分和數列。
若數項級數 的部分和數列收斂於S（即），則稱數項級數 收斂，即為收斂級數，且稱S為數項級數的和，記作 。
收斂級數分條件收斂級數和絕對收斂級數兩大類，其性質與有限和（有限項相加）相比有本質的差別，例如交換律和結合律對它不一定成立，收斂級數概念是柯西於1821年引進的。
設 k 為常數，如果級數收斂於S，則級數 也收斂，且收斂於。
證明：設級數 和的部分和分別為，
則有 ，
於是 ，這就表明級數 也收斂，且收斂於 。
註：由關係式可知，如果數列沒有極限且 ，那麼 也沒有極限。由此我們得到結論：級數的每一項同乘一個不為零的常數后，它的收斂性不變。
如果級數 、 分別收斂於，則級數 也收斂，且收斂到。
證明：設級數 與 的部分和分別為 ，
則級數 的部分和為 ，
於是，這就表明了級數收斂，且收斂於 。
注意：性質2說明，兩個收斂級數逐項相加或逐項相減之後仍為收斂級數。
在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性。
證明：我們只需證明“在級數的前面部分去掉、加上有限項，不會改變級數的收斂性”，因為其他情形（即在級數中去掉、加上或改變有限項的情形）都可以看成在級數的前面部分先去掉有限項，然後再加上有限項的結果。
以去掉k項為例，設級數為 ，
去掉前 k 項，得到新的級數 ，
記原級數前 項的和為，前 k 項和為，去掉前 k 項得到的新級數的前 n 項和為，
則有 。
易得當 時， 與 同時有極限，或者同時沒有極限，
即級數與同時收斂或同時發散。
類似的，可以證明在級數前面加上有限項，不會改變級數的收斂性。
若級數 收斂，則對此級數的項任意加括弧后所得的級數
仍然收斂，且其和不變。
證明：設級數 的前 n 項部分和，加括弧后所成的級數的前 k 項的和為，則有：
，
，
...
，
可見，數列是數列 的一個子數列。由數列 的收斂性以及收斂子列與其子列的關係可知：數列必定收斂，且有 。這說明了加括弧后所成的級數收斂，且其和不變。
注意：如果加括弧后所成的級數發散，則原級數也發散。
如果級數收斂，則必有 。
等比級數（幾何級數）
等比級數：
（1）當時， 收斂，且收斂於 ；
（2）當時 ， 發散。
p級數：
（1）當 時， 收斂；
（2）當 時， 發散。
基本信息
- 外文名
- Convergent series
- 提出時間
- 1821年
- 必要條件
- 通項的極限為0
- 分類
- 收斂級數和絕對收斂級數