柯西

柯西在幼年時，他的父親常帶領他到法國參議院內的辦公室，並且在那裡指導他進行學習，因此他有機會遇到參議員拉普拉斯和拉格朗日兩位大數學家。他們對他的才能十分賞識；拉格朗日認為他將來必定會成為大數學家，但建議他的父親在他學好文科前不要學數學。

柯西於1802年入中學。在中學時，他的拉丁文和希臘文取得優異成績，多次參加競賽獲獎；數學成績也深受老師讚揚。他於1805年考入綜合工科學校，在那裡主要學習數學和力學；1807年考入橋樑公路學校，1810年以優異成績畢業，前往瑟堡參加海港建設工程。

柯西去瑟堡時攜帶了拉格朗日的解析函數論和拉普拉斯的天體力學，後來還陸續收到從巴黎寄出或從當地借得的一些數學書。他在業餘時間悉心攻讀有關數學各分支方面的書籍，從數論直到天文學方面。根據拉格朗日的建議，他進行了多面體的研究，並於1811及1812年向科學院提交了兩篇論文，其中主要成果是：

(1)證明了凸正多面體只有五種(面數分別是4，6，8，l 2，20)，星形正多面體只有四種(面數是l2的三種，面數是20的一種)。

(2)得到了歐拉關於多面體的頂點、面和棱的個數關係式的另一證明並加以推廣。

(3)證明了各面固定的多面體必然是固定的，從此可導出從未證明過的歐幾里得的一個定理。

這兩篇論文在數學界造成了極大的影響。柯西在瑟堡由於工作勞累生病，於1812年回到巴黎他的父母家中休養。

柯西於18l3年在巴黎被任命為運河工程的工程師，他在巴黎休養和擔任工程師期間，繼續潛心研究數學並且參加學術活動。這一時期他的主要貢獻是：

(1)研究代換理論，發表了代換理論和群論在歷史上的基本論文。

(2)證明了費馬關於多角形數的猜測，即任何正整數是個角形數的和。這一猜測當時已提出了一百多年，經過許多數學家研究，都沒有能夠解決。以上兩項研究是柯西在瑟堡時開始進行的。

(3)用複變函數的積分計算實積分，這是複變函數論中柯西積分定理的出發點。

(4)研究液體表面波的傳播問題，得到流體力學中的一些經典結果，於1815年得法國科學院數學大獎。

以上突出成果的發表給柯西帶來了很高的聲譽，他成為當時一位國際上著名的青年數學家。

1815年法國拿破崙失敗，波旁王朝復辟，路易十八當上了法王。柯西於1816年先後被任命為法國科學院院士和綜合工科學校教授。1821年又被任命為巴黎大學力學教授，還曾在法蘭西學院授課。這一時期他的主要貢獻是：

(1)在綜合工科學校講授分析課程，建立了微積分的基礎極限理論，還闡明了極限理論。在此以前，微積分和級數的概念是模糊不清的。由於柯西的講法與傳統方式不同，當時學校師生對他提出了許多非議。

柯西在這一時期出版的著作有《代數分析教程》、《無窮小分析教程概要》和《微積分在幾何中應用教程》。這些工作為微積分奠定了基礎，促進了數學的發展，成為數學教程的典範。

(2)柯西在擔任巴黎大學力學教授后，重新研究連續介質力學。在1822年的一篇論文中，他建立了彈性理論的基礎。

(3)繼續研究複平面上的積分及留數計算，並應用有關結果研究數學物理中的偏微分方程等。

他的大量論文分別在法國科學院論文集和他自己編寫的期刊“數學習題”上發表。

1830年法國爆發了推翻波旁王朝的革命，法王查理第十倉皇逃走，奧爾良公爵路易·菲力浦繼任法王。當時規定在法國擔任公職必須宣誓對新法王效忠，由於柯西屬於擁護波旁王朝的正統派，他拒絕宣誓效忠，並自行離開法國。他先到瑞士，後於1832～1833年任義大利都靈大學數學物理教授，並參加當地科學院的學術活動。那時他研究了複變函數的級數展開和微分方程(強級數法)，並為此作出重要貢獻。

1833～1838年柯西先在布拉格、后在戈爾茲擔任波旁王朝“王儲”波爾多公爵的教師，最後被授予“男爵”封號。在此期間，他的研究工作進行得較少。

1838年柯西回到巴黎。由於他沒有宣誓對法王效忠，只能參加科學院的學術活動，不能擔任教學工作。他在創辦不久的法國科學院報告“和他自己編寫的期刊分析及數學物理習題”上發表了關於複變函數、天體力學、彈性力學等方面的大批重要論文。

1848年法國又爆發了革命，路易·菲力浦倒台，重新建立了共和國，廢除了公職人員對法王效忠的宣誓。柯西於1848年擔任了巴黎大學數理天文學教授，重新進行他在法國高等學校中斷了18年的教學工作。

1852年拿破崙第三發動政變，法國從共和國變成了帝國，恢復了公職人員對新政權的效忠宣誓，柯西立即向巴黎大學辭職。後來拿破崙第三特准免除他和物理學家阿拉果的忠誠宣誓。於是柯西得以繼續進行所擔任的教學工作，直到1857年他在巴黎近郊逝世時為止。柯西直到逝世前仍不斷參加學術活動，不斷發表科學論文。

柯西是一位多產的數學家，他的全集從1882年開始出版到1974年才出齊最後一卷，總計28卷。他的主要貢獻如下；

柯西最重要和最有首創性的工作是關於單複變函數論的。18世紀的數學家們採用過上、下限是虛數的定積分。但沒有給出明確的定義。柯西首先闡明了有關概念，並且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實定積分的計算，級數與無窮乘積的展開，用含參變數的積分表示微分方程的解等等。

柯西在綜合工科學校所授分析課程及有關教材給數學界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發明微積分(即無窮小分析，簡稱分析)以來，這門學科的理論基礎是模糊的。為了進一步發展，必須建立嚴格的理論。柯西為此首先成功地建立了極限論。

在柯西的著作中，沒有通行的語言，他的說法看來也不夠確切，從而有時也有錯誤，例如由於沒有建立一致連續和一致收斂概念而產生的錯誤。可是關於微積分的原理，他的概念主要是正確的，其清晰程度是前所未有的。例如他關於連續函數及其積分的定義是確切的，他首先準確地證明了泰勒公式，他給出了級數收斂的定義和一些判別法。

柯西在分析方面最深刻的貢獻在常微分方程領域。他首先證明了方程解的存在和唯一性。在他以前，沒有人提出過這種問題。通常認為是柯西提出的三種主要方法，即柯西—利普希茨法，逐漸逼近法和強級數法，實際上以前也散見到用於解的近似計算和估計。柯西的最大貢獻就是看到通過計算強級數，可以證明逼近步驟收斂，其極限就是方程的所求解。

雖然柯西主要研究分析，但在數學中各領域都有貢獻。關於用到數學的其他學科，他在天文和光學方面的成果是次要的，可是他卻是數理彈性理論的奠基人之一。除以上所述外，他在數學中其他貢獻如下：

1．分析方面：在一階偏微分方程論中行進丁特徵線的基本概念；認識到傅立葉變換在解微分方程中的作用等等。

2．幾何方面：開創了積分幾何，得到了把平面凸曲線的長用它在平面直線上一些正交投影表示出來的公式。

3．代數方面：首先證明了階數超過了的矩陣有特徵值；與比內同時發現兩行列式相乘的公式，首先明確提出置換群概念，並得到群論中的一些非平凡的結果；獨立發現了所謂“代數要領”，即格拉斯曼的外代數原理。