泰勒公式

 由導數的定義可知，當函數 在點處可導時，在點的鄰域內有因為 是一個無窮小量，故有 。這是在對函數進行局部線性化處理時常用的公式之一。從幾何上看，它是用切線來代替曲線的。然而，這樣的近似是比較粗糙的，而且只在點的附近才有近似的意義為了改善上述不足，使得近似替代更加精密，數學家們在柯西中值定理的基礎上，推導出了泰勒中值定理（泰勒公式） 。

若函數 在包含 的某個開區間 上具有 階的導數，那麼對於任一 ，有 其中，此處的 為 與 之間的某個值。 稱為 階泰勒公式，其中, 稱為 次泰勒多項式，它與 的誤差 稱為 階泰勒余項。

如果函數 的 階導數在 上有界，從而有

表明 ，另外也可證明對固定的 ，當 時即要想使用 與 誤差減小，則可將 取小，也可將 取大。在 階泰勒公式中，從而可得：

此時 為 ，其中 為 與 之間的某個值，該式稱為函數 在 處的階泰勒公式，也稱作 的 階麥克勞林（Maclaurin）公式，其餘項常寫為 或者兩種形式，用階導數表示的余項叫拉格朗日余項，用或者表示的余項叫作皮亞諾（Peano）余項。

泰勒公式的余項有兩類：一類是定性的皮亞諾余項，另一類是定量的拉格朗日余項。這兩類余項本質相同，但是作用不同。一般來說，當不需要定量討論余項時，可用皮亞諾余項（如求未定式極限及估計無窮小階數等問題）；當需要定量討論余項時，要用拉格朗日余項（如利用泰勒公式近似計算函數值） 。

泰勒公式的幾何意義是利用多項式函數來逼近原函數，由於多項式函數可以任意次求導，易於計算，且便於求解極值或者判斷函數的性質，因此可以通過泰勒公式獲取函數的信息，同時，對於這種近似，必須提供誤差分析，來提供近似的可靠性。

一個通用表達式，根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有，其中誤差是在，即的前提下才趨於0，在近似計算中往往不夠精確。

除了一元泰勒公式外，多元泰勒公式的應用也非常廣泛，特別是在微分方程數值解和最優化上有著很大的作用 。

18世紀早期英國牛頓學派最優秀代表人物之一的英國數學家泰勒（BrookTaylor），於1685年8月18日在英格蘭德爾塞克斯郡的埃德蒙頓市出生。1701年，泰勒進劍橋大學的聖約翰學院學習。1709年後移居倫敦，獲得法學學士學位。1712年當選為英國皇家學會會員，同年進入促裁牛頓和萊布尼茲發明微積分優先權爭論的委員會。並於兩年後獲法學博士學位。從1714年起擔任皇家學會第一秘書，1718年以健康為由辭去這一職務。1717年，他以泰勒定理求解了數值方程。最後在1731年12月29日於倫敦逝世。

泰勒以微積分學中將函數展開成無窮級數的定理著稱於世。這條定理大致可以敘述為：函數在一個點的鄰域內的值可以用函數在該點的值及各階導數值組成的無窮級數表示出來。然而，在半個世紀里，數學家們並沒有認識到泰勒定理的重大價值。這一重大價值是後來由拉格朗日發現的，他把這一定理刻畫為微積分的基本定理。泰勒定理的嚴格證明是在定理誕生一個世紀之後，由柯西給出的。

泰勒定理開創了有限差分理論，使任何單變數函數都可展成冪級數；同時亦使泰勒成了有限差分理論的奠基者。泰勒於書中還討論了微積分對一系列物理問題之應用，其中以有關弦的橫向振動之結果尤為重要。他透過求解方程導出了基本頻率公式，開創了研究弦振問題之先河。此外，此書還包括了他於數學上之其他創造性工作，如論述常微分方程的奇異解，曲率問題之研究等。

希臘哲學家芝諾在考慮利用無窮級數求和來得到有限結果的問題時，得出不可能的結論-芝諾悖論，這些悖論中最著名的兩個是“阿喀琉斯追烏龜”和“飛矢不動”。

後來，亞里士多德對芝諾悖論在哲學上進行了反駁，直到德謨克利特以及後來的阿基米德進行研究，此部分數學內容才得到解決阿基米德的應用用窮舉法使得一個無窮級數能夠被地地地細分，得到了有限的結果。

14世紀，瑪達瓦發現了一些特殊函數，包括正弦、餘弦、正切、反正切等三角函數的泰勒級數。

17世紀，詹姆斯·格雷果里同樣繼續著這方面的研究，並且發表了若干麥克勞林級數。直到1712年，英國牛頓學派最優秀代表人物之一的數學家泰勒提出了一個通用的方法，這就是為人們所熟知的泰勒級數；愛丁堡大學的科林·麥克勞林教授發現了泰勒級數的特例，稱為麥克勞林級數。

泰勒公式是將一個在處具有n階導數的函數利用關於的次多項式來逼近函數的方法。

若函數f(x)在包含的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間(a,b)上具有(n+1)階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：

其中，表示的階導數，等號后的多項式稱為函數在處的泰勒展開式，剩餘的是泰勒公式的余項，是的高階無窮小。

泰勒公式的余項可以寫成以下幾種不同的形式：

1、佩亞諾(Peano）余項：

這裡只需要n階導數存在

2、施勒米爾希-羅什(Schlomilch-Roche）余項：

其中，p為任意正實數。（注意到與分別對應拉格朗日余項與柯西余項）

3、拉格朗日（Lagrange）余項：其中。

4、柯西（Cauchy）余項：

其中。

5、積分余項：

其中以上諸多餘項事實上很多是等價的。

以下列舉一些常用函數的泰勒公式：

我們知道，根據拉格朗日中值定理導出的有限增量定理有：

於是：

其中誤差α是在即的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確。於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：

來近似地表示函數f(x）且要寫出其誤差f(x)-P(x）的具體表達式。設函數P(x)滿足：

於是可以依次求出，顯然有：

所以

所以所以 至此，多項的各項係數都已答案答得：

以上就是函數的泰勒展開式。

接下來就要求誤差的具體表達式了。

設令得到：

進而：

根據柯西中值定理：

其中在和之間；

繼續使用柯西中值定理得到：其中在和之間；

連續使用n+1次后得到：

其中在和之間；

同時：

而：

進而：

綜上可得：

一般來說展開函數時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把寫為。

函數的麥克勞林展開指上面泰勒公式中x0取0的情況，即是泰勒公式的特殊形式，若在處n階連續可導，則下式成立：

其中表示f(x)的n階導數。

當，其中在0與x之間時，公式稱為拉格朗日型余項的n階麥克勞林公式；

當時公式稱為帶佩亞諾型余項的n階麥克勞林公式。

n階泰勒公式中的余項寫成如下形式的拉格朗日余項：

那麼其中的θ的有一個重要性質：當在點連續，且，則證明因為

（1）

（2）

（3）

[（1）－（2）]得：

（4）（3）—（4）得

由於在點連續，且，所以

實際應用中，泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數的有限項的泰勒級數叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用於估算這種近似的誤差。

泰勒展開式的重要性體現在以下五個方面：

● ● 冪級數的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數相對比較容易。

● ● 一個解析函數可被延伸為一個定義在複平面上的一個開片上的解析函數，並使得複分析這種手法可行。

● ● 泰勒級數可以用來近似計算函數的值，並估計誤差。

● ● 證明不等式。

● ● 求待定式的極限。

實例

例1、展開三角函數和。

解：根據導數表得：。

顯然在處具有任意階導數，並且根據麥克勞林公式：

類似展開。

例2、當時，證明。

證明：函數在點處的二階泰勒公式為在時，顯然成立即例3、求極限解：利用

（1）（2）（3）（4）例4、計算近似值，並估計誤差。

解：對指數函數運用麥克勞林展開式並捨棄余項：

當x=1時：

取n=10，即可算出近似值e≈2.7182818。

誤差為

例5、歐拉公式：（其中，即一個虛數單位）

證明：由於在實數範圍以內，將該式子擴展到複數系內以定義指數函數，得到

特別地，當上式時，有

把上面的b換成x，就得到了歐拉公式。

由歐拉公式，對任意一個複數，有

即複數z的指數函數依然是一個複數，這個複數的模，幅角。

若b=0，則，與實變函數在時的函數值相同。