芝諾

芝諾生活在古代希臘的埃利亞城邦。他是埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德(Parmenides)的學生和朋友．關於他的生平，缺少可靠的文字記載。

柏拉圖在他的對話《巴門尼德》篇中，記敘了芝諾和巴門尼德於公元前5世紀中葉去雅典的一次訪問。其中說：“巴門尼德年事已高，約65歲；頭髮很白，但儀錶堂堂．那時芝諾約40歲，身材魁梧而美觀，人家說他已變成巴門尼德所鍾愛的了。”按照以後的 希臘著作家們的意見，這次訪問乃是柏拉圖的虛構，然而柏拉圖在書中記述的芝諾的觀點，卻被普遍認為是相當準確的。

據信芝諾為巴門尼德的“存在論”辯護，但是不象他的老師那樣企圖從正面去證明存在是“一”不是“多”，是“靜”不是“動”，他常常用歸謬法從反面去證明：“如果事物是多數的，將要比是‘一’的假設得出更可笑的結果。”他用同樣的方法，巧妙地構想出一些關於運動的論點。他的這些議論，就是所謂“芝諾悖論”。芝諾有一本著作《論自然》。

在柏拉圖的《巴門尼德》篇中，當芝諾談到自己的著作時說：“由於青年時的好勝著成此篇，著成后，人即將它竊去，以致我不能決斷，是否應當讓它問世。”

公元5世紀的評論家普羅克洛斯(Proclus)在給這段話寫的評註中說，芝諾從“多”和運動的假設出發，一共推出了40個各不相同的悖論。芝諾的著作久已失傳，亞里士多德的《物理學》和辛普里西奧斯(Simplici－us)為《物理學》作的註釋是了解芝諾悖論的主要依據，此外還有少量零星殘篇可提供佐證。現存的芝諾悖論至少有 8個，其中關於運動的4個悖論尤為著名。

關於芝諾之死，有一則廣為流傳但情節說法不一的故事說，芝諾因蓄謀反對埃利亞(另一說為敘拉古)的僭主，而被拘捕、拷打，直至處死。

芝諾（Zeno of Elea）生於義大利半島南部的埃利亞城邦，他是埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德的學生和朋友。

據說他在母邦度過了一生，僅在成名之後到過雅典。據傳說，芝諾因蓄謀反對埃利亞的君主而被處死。關於他的生平，缺乏可靠的文字記載。柏拉圖在他的對話《巴門尼德篇》中，記載了芝諾和巴門尼德於公元前5世紀中葉去雅典的一次訪問。其中有這樣的文字：“巴門尼德年事已高，約65歲；頭髮很白，但儀錶堂堂。那時的芝諾約40歲，身材魁梧而美觀，大家說他已經變成巴門尼德所鍾愛的了。”在以後的希臘著作家看來，這次訪問是柏拉圖虛構的。但柏拉圖有關芝諾觀點的記敘，卻被普遍認為是準確的。在柏拉圖的巴門尼德篇中，當芝諾談到自己的著作(論自然)時，這樣說道：“由於青年時的好勝著成此篇，著成后，人即將他竊去，以至我不能決斷，是否應當讓它問世。 ”芝諾不象他的老師那樣企圖從正面去證明是一不是多，是靜不是動，他常常從反面即歸謬法來為“存在論”辯護。公元五世紀的評論家普羅克洛斯說過，芝諾從“多”和運動的假設出發，一共推出了40個各不相同的悖論。現存的芝諾悖論至少有8個，其中關於運動的4個悖論最為著名。芝諾的著作早已失傳，亞里士多德的物理學和辛普里西奧斯為物理學作的註解是了解芝諾悖論的主要途徑，此外只有少量零散的文獻可作參考。

直到19 世紀中葉，亞里士多德關於芝諾悖論的引述及批評幾乎是權威的，人們普遍認為芝諾悖論不過是一些詭辯。英國數學家B．羅素感慨的說：“在這個變化無常的世界上，沒有什麼比死後的聲譽更變化無常了。死後得不到應有的評價的最典型例子莫過於埃利亞的芝諾了。他雖然發明了四個無限微妙無限深邃的悖論，後世的大批哲學家們卻宣稱他只不過是個聰明的騙子，而他的悖論只不過是一些詭辯。遭到兩千多年的連續駁斥之後這些詭辯才得以正名，…。”19世紀下半葉以來，學者們開始重新研究芝諾。他們推測芝諾的理論在古代就沒能得到完整的、正確的報道，而是被詭辯家們用來倡導懷疑主義和否定知識，亞里士多德正是按照被詭辯家們歪曲過的形象來引述芝諾悖論的。學者們對芝諾提出這些悖論的目的還不清楚，但大家一致認為，芝諾關於運動的悖論不是簡單的否認運動，這些悖論後面有著更深的內涵。亞里士多德的著作保存了芝諾悖論的大意，從這個意義上來說，他功不可沒，但他對芝諾悖論的分析和批評是否成功，還不可以下定論。

有關芝諾悖論在古希臘數學發展中起到的作用，在科學史上眾說紛紜。P· 湯納利首先提出，不是巴門尼德而是畢達哥拉斯學派發現的不可公約量，對芝諾悖論的提出產生了深刻的影響。H·赫斯和H·斯科爾斯則認為芝諾是對古代數學的發展起決定影響的人物，他們試圖證明，畢達哥拉斯學派曾假定存在無限小的基本線段，想以此來克服因發現不可公約量而引起的矛盾，而芝諾的悖論反對了這種不準確的做法，從而迫使其他數學家去尋找真正的原因所在。另有一些學者持有完全不同的觀點，他們認為芝諾對那個時代的數學發展沒有作出任何重大的貢獻。不管爭論的結果如何，人們無須擔心芝諾的名字會從數學史上消失，就像美國數學史家E·T·貝爾說的，芝諾畢竟曾“以非數學的語言，記錄下了最早同連續性和無限性格鬥的人們所遭遇到的困難。”芝諾的功績在於把動和靜的關係、無限和有限的關係、連續和離散的關係惹人注意地擺了出來，並進行了辨證的考察。在哲學上，芝諾被亞里士多德譽為辯證法的發明人，黑格爾在他的哲學史演錄中指出：“芝諾主要是客觀的辨證的考察了運動，並稱芝諾為“辯證法的創始人”。

芝諾悖論(Zeno's paradoxes)是古希臘數學家芝諾（Zeno of Elea）提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論。

芝諾因其悖論而著名，並因此在數學和哲學兩方面享有不朽的聲譽。數學史家F．卡約里(Cajori)說，“芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續性、無限大和無限小這些概念的歷史。”但遺憾的是，芝諾的著作沒有能流傳下來，我們是通過批評他的亞里士多德及其註釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的。

直到19世紀中葉，人們對於亞里士多德關於芝諾悖論的引述及批評幾乎是深信不疑的，普遍認為芝諾悖論只不過是一些有趣的謬見。

英國數學家B．羅素(Russell)感慨地說：“在這個變化無常的世界上，沒有什麼比死後的聲譽更變化無常了．死後得不到應有的評價的最顯眼的犧牲品莫過於埃利亞的芝諾了。他雖然發明了4個無限微妙、無限深邃的悖論，後世的大批哲學家們卻宣稱他只不過是一個聰明的騙子，而他的悖論只不過是一些詭辯。遭到兩千多年的連續駁斥之後，這些“詭辯”才得以正名，…。”

19世紀下半葉以來，學者們開始重新研究芝諾．他們推測芝諾的理論在古代就沒有得到完整的、正確的報道，而是被詭辯家們用作倡導懷疑主義和否定知識的工具，從而背離了芝諾的真正宗旨。而亞里士多德正是按照被詭辯家們歪曲過的形象來引述芝諾悖論的。

然而，迄今為止，學者們還找不出可靠的證據足以推翻亞里士多德和辛普里西奧斯關於芝諾悖論的記述。由於對希臘哲學史了解得還不夠，對於芝諾提出這些悖論的目的何在尚不清楚。比較一致的意見是：芝諾關於運動的悖論並不是簡單地否認運動，芝諾責難“多”也不是簡單地把兩隻羊說成一隻羊。在這些悖論後面有著更深層的內涵．亞里士多德的著作保存了芝諾悖論的大意，功不可沒，但是他對於芝諾悖論的分析和批評並非十分成功，是值得重新研究的。

關於芝諾悖論對於古代希臘數學發展的重要性，在科學史學者中的意見是很不一致的．P．湯納利首先提出，芝諾和巴門尼德哲學的關係並不如古代傳說中所肯定的那樣密切．相比之下，因畢達哥拉斯學派發現不可公度量而出現的一些問題，對於芝諾具有更加深刻的影響。

基於同樣的假設，H．赫斯(Hasse)和H．斯科爾斯(Scholz)想把芝諾說成是對古代數學的發展方向起決定影響的人物。他們試圖證明，畢達哥拉斯學派曾假定存在無限小的基本線段(初等線段)，想以此來克服因發現不可公度量而引起的困難。芝諾所反對的正是這種處理無窮小的不準確的做法，從而迫使下一代的畢達哥拉斯學派的數學家去探求更好、更準確的基礎。另有一些學者持有完全不同的意見．B．L．范德瓦爾登(van der Waerden)指出，我們已知的關於公元前五世紀下半葉的數學理論——不可公度量的發現無疑是那個時代作出的——並不支持芝諾曾經對那個時代的數學發展作過任何重大貢獻的說法。

這些悖論由於被記錄在亞里士多德的《物理學》一書中而為後人所知。芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關於“存在”不動、是一的學說。這些悖論中最著名的兩個是：“阿基里斯跑不過烏龜”和“飛矢不動”。這些方法可以用微積分（無限）的概念解釋，但還是無法用微積分解決，因為微積分原理存在的前提是存在廣延（如，有廣延的線段經過無限分割，還是由有廣延的線段組成，而不是由無廣延的點組成。），而芝諾悖論中既承認廣延，又強調無廣延的點。這些悖論之所以難以解決，是因為它集中強調後來笛卡爾和伽桑迪為代表的機械論的分歧點。

芝諾：“一個人從A點走到B點，要先走完路程的1/2，再走完剩下總路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循環下去，永遠不能到終點。假設此人速度不變，走一段的時間每次除以2，時間為實際需要時間的1/2+1/4+1/8+......，則時間限制在實際需要時間以內，即此人與目的地距離可以為任意小，卻到不了。實際上是這個悖論本身限定了時間，當然到達不了。《莊子·天下篇》中也提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”芝諾與莊子悖論的區別為芝諾悖論一定時間內行走的距離不變（即速度不變），而莊子時間不變，這段時間裡的工作卻越來越少（速度越來越慢），可以看出芝諾限制了時間，而莊子的理論可以使時間為無窮大。

阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜的競賽中，他速度為烏龜十倍，烏龜在前面100米跑，他在後面追，但他不可能追上烏龜。因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發點，當阿喀琉斯追到100米時，烏龜已經又向前爬了10米，於是，一個新的起點產生了；阿喀琉斯必須繼續追，而當他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那個1米。就這樣，烏龜會製造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間製造出一個距離，不管這個距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜！“烏龜”動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。”如柏拉圖描述，芝諾說這樣的悖論，是興之所至的小玩笑。首先，巴門尼德編出這個悖論，用來嘲笑"數學派"所代表的畢達哥拉斯的" 1-0.999...>0"思想。然後，他又用這個悖論，嘲笑他的學生芝諾的"1-0.999...=0，但1-0.999...>0"思想。最後，芝諾用這個悖論，反過來嘲笑巴門尼德的"1-0.999...=0，或1-0.999...>0"思想。有人解釋道：若慢跑者在快跑者前一段，則快跑者永遠趕不上慢跑者，因為追趕者必須首先跑到被追者的出發點，而當他到達被追者的出發點，慢跑者又向前了一段，又有新的出發點在等著它，有無限個這樣的出發點。芝諾當然知道阿喀琉斯能夠捉住海龜，跑步者肯定也能跑到終點。類似阿基里斯追上海龜之類的追趕問題，我們可以用無窮數列的求和，或者簡單建立起一個方程組就能算出所需要的時間，那麼既然我們都算出了追趕所花的時間，我們還有什麼理由說阿基里斯永遠也追不上烏龜呢？然而問題出在這裡：我們在這裡有一個假定，那就是假定阿基里斯最終是追上了烏龜，才求出的那個時間。但是芝諾的悖論的實質在於要求我們證明為何能追上。上面說到無窮個步驟是難以完成。以上初等數學的解決辦法，是從結果推往過程的。悖論本身的邏輯並沒有錯，它之所以與實際相差甚遠，在於這個芝諾與我們採取了不同的時間系統。人們習慣於將運動看做時間的連續函數，而芝諾的解釋則採取了離散的時間系統。即無論將時間間隔取得再小，整個時間軸仍是由無限的時間點組成的。換句話說，連續時間是離散時間將時間間隔取為無窮小的極限。其實這歸根到底是一個時間的問題。譬如說，阿基里斯速度是10m/s，烏龜速度是1m/s，烏龜在前面100m。實際情況是阿基里斯必然會在100/9秒之後追上烏龜。按照悖論的邏輯，這100/9秒可以無限細分，給我們一種好像永遠也過不完的印象。但其實根本不是如此。這就類似於有1秒時間，我們先要過一半即1/2秒，再過一半即1/4秒，再過一半即1/8秒，這樣下去我們永遠都過不完這1秒，因為無論時間再短也可無限細分。但其實我們真的就永遠也過不完這1秒了嗎？顯然不是。儘管看上去我們要過1/2、1/4、1/8秒等等，好像永遠無窮無盡。但其實時間的流動是勻速的，1/2、1/4、1/8秒，時間越來越短，看上去無窮無盡，其實加起來只是個常數而已，也就是1秒。所以說，芝諾的悖論是不存在的。

設想一支飛行的箭。在每一時刻，它位於空間中的一個特定位置。由於時刻無持續時間，箭在每個時刻都沒有時間而只能是靜止的。鑒於整個運動期間只包含時刻，而每個時刻又只有靜止的箭，所以芝諾斷定，飛行的箭總是靜止的，它不可能在運動。上述結論也適用於時刻有持續時間的情況。對於這種情況，時刻將是時間的最小單元。假設箭在這樣一個時刻中運動了，那麼它將在這個時刻的開始和結束位於空間的不同位置。這說明時刻具有一個起點和一個終點，從而至少包含兩部分。但這明顯與時刻是時間是的最小單元這一前提相矛盾。因此，即使時刻有持續時間，飛行的箭也不可能在運動。總之，飛矢不動。箭悖論的標準解決方案如下：箭在每個時刻都不動這一事實不能說明它是靜止的。運動與時刻里發生什麼無關，而是與時刻間發生什麼有關。如果一個物體在相鄰時刻在相同的位置，那麼我們說它是靜止的，反之它就是運動的。

首先假設在操場上，在一瞬間（一個最小時間單位）里，相對於觀眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位。◆◆◆◆觀眾席A▲▲▲▲隊列B▼▼▼▼隊列CB、C兩個列隊開始移動，如下圖所示相對於觀眾席A，B和C分別向右和左各移動了一個距離單位。◆◆◆◆觀眾席A▲▲▲▲隊列B……向右移動▼▼▼▼隊列C……向左移動而此時，對B而言C移動了兩個距離單位。也就是，隊列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）里移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位里移動一個距離單位，這就產生了半個時間單位等於一個時間單位的矛盾。因此隊列是移動不了的。

雖然芝諾時代已經過去二千四百多年了，但是圍繞芝諾的爭論還沒有休止。不論怎樣，人們無須擔心芝諾的名字會從數學史上一筆勾銷．正如美國數學史家E．T．貝爾(Bell)所說，芝諾畢竟曾“以非數學的語言，記錄下了最早同連續性和無限性格鬥的人們所遭遇到的困難。

”芝諾的功績在於把動和靜、無限和有限、連續和離散的關係惹人注意地擺了出來，並進行了辯證的考察．雖然不能肯定他對古典希臘數學的發展有無直接的重要影響，但是有一點決不是偶然的巧合：柏拉圖寫作對話《巴門尼德》篇的時候，因為其中討論的主要話題之一是芝諾的觀點，芝諾也是書中的主角之一，因此在柏拉圖學園中很自然地熱烈討論起芝諾悖論來。當時歐多克索斯(Eudoxus)正在柏拉圖學園中攻讀和研究數學與哲學。歐多克索斯在稍後的時間裡創立了新的比例論(《幾何原本》第五卷中的主要內容)，從而克服了因發現不可公度量而出現的數學危機；並完善了窮竭法，巧妙地處理了無窮小問題。因此，在希臘數學發展的這個關鍵時刻，很難說芝諾沒有對它的發展作出過有意義的貢獻。

芝諾在哲學上被亞里士多德譽為辯證法的發明人。黑格爾在他的《哲學史講演錄》中指出：“芝諾主要是客觀地辯證地考察了運動”，並稱芝諾是“辯證法的創始人”。