拉格朗日中值定理

如果函數f(x)滿足：

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)內可導；

那麼在開區間(a,b)內至少有一點 使等式 成立。

記 ,令 ,則有

上式稱為有限增量公式。

我們知道函數的微分 是函數的增量Δy的近似表達式，一般情況下只有當|Δx|很小的時候，dy和Δy之間的近似度才會提高；而有限增量公式卻給出了當自變數x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）時，函數增量Δy的準確表達式，這就是該公式的價值所在。

輔助函數法：

已知 在 上連續，在開區間 內可導，

構造輔助函數

可得g(a)=g(b)又因為 在 上連續，在開區間 內可導，

所以根據羅爾定理可得必有一點 使得

由此可得

變形得

定理證畢。

如果函數 在區間 上的導數 恆為零，那麼函數 在區間 上是一個常數。

在區間 上任取兩點 由拉格朗日中值定理得

由於已知 即

因為 是區間 上的任意兩點，所以 在區間 上的函數值總是相等的，

即函數在區間上是一個常數。

如果函數 在開區間 內可導且 與 都存在

令，

則在開區間 內至少存在一點 使得

拉格朗日中值定理有一個變形，即所謂的有限增量公式：。其中的 有一個很重要的性質：

若在 點連續，且，則

證明 由於f''(x)在 點連續，所以有

（1） ；

（2） 。

將（1）和（2）同時代入有限增量公式，可得，，利用f"(x)在x0點處的連續性及f"(x0)≠0，在等式兩邊同取極限（令），即可得結論。

證明導函數連續定理：

若函數f(x)在x0的某鄰域 內連續，在 內可導，且 存在，則f(x)在x0處可導，並且有。

解析：該定理給出了導函數連續的一個充分條件。（注意：必要性不成立，即函數在某點可導，不能推出導函數在該點連續，因為該點還可能是導函數的振蕩間斷點。）我們知道，函數在某一點的極限不一定等於該點處的函數值；但如果這個函數是某個函數的導函數，則只要這個函數在某點有極限，那麼這個極限就等於函數在該點的取值。

證明：由導數的定義可知，函數在某點可導的充要條件是函數在該點的左右導數相等，因此分別來研究左右導數。

右導數：任取，顯然 在區間 上滿足定理使用條件。

∴

當 時，有，對上式兩邊取極限，得：

即：

上式左邊是 在 處的右導數，右邊是導函數 在 處的右極限。

同理，有

上式左邊是 在 處的左導數，右邊是導函數 在 處的左極限。

∵ 存在

∴

∴

∴f(x)在x0處可導，並且

由該定理立即可得出一個推論：如果函數在某個區間上可導，那麼導函數在該區間上不存在第一類間斷點。換句話說，如果一個函數在某個區間上存在第一類間斷點，那麼它在該區間上沒有原函數。

人們對拉格朗日中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代。古希臘數學家在幾何研究中得到如下結論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行於拋物線弓形的底”。這正是拉格朗日定理的特殊情況，古希臘數學家阿基米德正是巧妙地利用這一結論，求出拋物弓形的面積.。

義大利卡瓦列里在《不可分量幾何學》(1635年)的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基於幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行於曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。該定理是拉格朗日中值定理在幾何學中的表達形式。

1797年，法國數學家拉格朗日在《解析函數論》一書中首先給出了拉格朗日定理，他給出的定理的最初形式是：“函數 在 與 之間連續，在 與 之間有最小值 與最大值，則 必取 與 之間的一個值。”拉格朗日給出最初的證明，但證明並不嚴格，他給的條件比現在的條件要強，他要求函數 在閉區間上具有連續導數，並且他所用的連續也是直觀的，而不是抽象的。

十九世紀初，在微積分嚴格化運動中，柯西給出了拉格朗日中值定理的嚴格證明，在《無窮小計算教程概論》中，柯西證明了”如果導數 在閉區間 上連續，則必存在一點，使得。 ”柯西又在《微分計算教程》中將拉格朗日中值定理推廣為柯西中值定理。

現代形式的拉格朗日中值定理是由法國數學家博（O.Bonnet）給出的，他不是利用導數 的連續性，而是利用羅爾定理對拉格朗日中值定理進行了重新證明。

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學應用的橋樑，在理論和實際中具有極高的研究價值。

若連續曲線 在 兩點間的每一點處都有不垂直於x軸的切線，則曲線在A，B間至少存在1點，使得該曲線在P點的切線與割線AB平行。

對於曲線運動在任意一個運動過程中至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速率等於這個過程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統中佔有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理對洛必達法則進行嚴格的證明，並研究泰勒公式的余項。從柯西起，微分中值定理就成為研究函數的重要工具和微分學的重要組成部分。

法國數學家。1754年開始研究數學，1766年接替了歐拉在柏林皇家科學院的職位，在那裡工作達20年。1786年去法國，先後擔任巴黎高等師範學校和多科工藝學校教授。他是18世紀僅次於歐拉的大數學家，工作涉及數論、代數方程論、微積分、微分方程、變分法、力學、天文學等許多領域。在數學上，他最早的重要貢獻是1859年解決了等周問題，從而開創了變分問題分析形式的一般解法。1766～1787年是他科學研究的多產時期，1766～1773年，他在數論方面做了一系列研究，1766年證明了所謂佩爾(Pell)方程(x-Ay=1)的解的存在性，1770年證明費馬的著名命題，每個正整數可表為至多4個平方數之和；1771年證明了著名的所謂威爾遜 (Wilson) 定理; 1773年關於整數的型表示問題獲得關鍵性成果。1767～1777年，他又系統地研究了代數方程論，引入對稱多項式理論，置換理論及預解式概念，指出根的排列理論是整個問題的真諦，對後來伽羅華的工作產生了重要影響。在這期間，他還在微積分、微分方程、力學、天文學領域廣泛開展研究，導致了他的兩部不朽巨著 《分析力學》 (1788)、《微分原理中的解析函數論》(1797)。著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日余項、拉格朗日方程，對黎卡提方程的重要研究，對線性微分方程組的研究，對奇解與通解的聯繫的系統研究，都是這一時期的工作。他也是最先試圖為微積分提供嚴格基礎的數學家之一，這使他成為實變函數論的先驅。他還以在數學上追求簡明與嚴格而被譽為第1個真正的分析學家。拿破崙曾評價說：“拉格朗日是數學科學方面高聳的金字塔。”