微分中值定理

微分中值定理

微分中值定理是一系列中值定理總稱，是研究函數的有力工具，其中最重要的內容是拉格朗日定理，可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。微分中值定理反映了導數的局部性與函數的整體性之間的關係，應用十分廣泛。

目錄

1羅爾定理 2拉格朗日定理 3柯西定理

4泰勒公式 5達布定理 6洛必達法則

羅爾定理

內容：

如果函數f(x)滿足：

在閉區間[a,b]上連續；

在開區間(a,b)內可導；

在區間端點處的函數值相等，即f(a)=f(b)，

那麼在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ

幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧（方程為）是一條連續的曲線弧，除端點外處處有不垂直於x軸的切線，且兩端點的縱坐標相等。而定理結論表明：

弧上至少有一點，曲線在該點切線是水平的。

拉格朗日定理

內容：

如果函數 f(x) 滿足：

1)在閉區間[a,b]上連續；

2)在開區間(a,b)內可導。

那麼：在(a,b)內至少有一點ξ(a<ξ

使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。

拉格朗日中值定理的幾何意義是：曲線上必然存在至少一點，過該點的切線的斜率和連接曲線（a，b）的割線的斜率相同；或者說，曲線上必然存在至少一點可以做割線（a，b）的平行線

柯西定理

內容：

如果函數f(x)及F(x)滿足

(1)在閉區間[a,b]上連續；

(2)在開區間(a,b)內可導；

(3)對任一x∈(a,b)，F'(x)≠0

那麼在(a,b) 內至少有一點ξ，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)

成立

[中值定理]分為：微分中值定理和積分中值定理：

以上三個為微分中值定理定積分第一中值定理為：

f(x)在a到b上的定積分等於f(ξ)(b-a)（存在ξ∈[a,b]使得該式成立）

註：積分中值定理可以根據介值定理推出所以同樣ξ∈[a,b]都為閉區間。

泰勒公式

內容：若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於（x-x.)多項式和一個余項的和：

f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!·(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!·(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!·(x-x.)^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間，該余項稱為拉格朗日型的余項。

（註：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。）

推論：麥克勞林公式

內容：

若函數f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函數在此區間內時，可以展開為一個關於x多項式和一個余項的和：

f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!·x^2,+f'''(0)/3!·x^3+……+f(n)(0)/n!·x^n+Rn

其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!·x^(n+1),這裡0<θ<1.

達布定理

內容：

若函數f(x)在[a,b]上可導，則f′(x)在[a,b]上可取f′(a)和f′(b)之間任何值.

推廣：若f(x),g(x)均在[a,b]上可導，並且在[a,b]上,g′(x)≠0,則f′(x)/g′(x)可以取f′(a)/g′(a)與f′(b)/g′(b)之間任何值。

洛必達法則

內容：

設(1)當x→a時，函數f(x)及F(x)都趨於零；

(2)在點a的去心鄰域內，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；

(3)當x→a時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那麼

x→a時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

又設

(1)當x→∞時，函數f(x)及F(x)都趨於零；

(2)當|x|>N時f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；

(3)當x→∞時lim f'(x)/F'(x)存在(或為無窮大)，那麼

x→∞時 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。

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