羅爾中值定理
微分學中一條重要的定理
羅爾（Rolle）中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
羅爾定理描述如下：
如果 R 上的函數 f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區間 [a,b] 上連續，（2）在開區間 (a,b) 內可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
證明：因為函數 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：
1. 若 M=m，則函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函數，結論顯然成立。
2. 若 M>m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬引理推知：f'(ξ)=0。
另證：若 M>m ，不妨設f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。
若連續曲線y=f(x) 在區間 [a,b] 上所對應的弧段 AB，除端點外處處具有不垂直於 x 軸的切線，且在弧的兩個端點 A,B 處的縱坐標相等，則在弧 AB 上至少有一點 C，使曲線在C點處的切線平行於 x 軸。
（1）有界開區間上的有界函數
若函數 在區間 上連續且可導，並有，則至少存在一個，使得。
（2）有界區間上的無界函數
若函數 在區間 上連續且可導，並有（或），則至少存在一個，使得。
（3）無界區間上的有界函數
若函數 在區間 上連續且可導，並有，則至少存在一個，使得。
（4）無界區間上的無界函數
若函數 在區間 上連續且可導，並有（或），則至少存在一個，使得。
（5）半無界區間上的有界函數
若函數 在區間[ )上連續且可導，並有，則至少存在一個，使得。
（6）半無界區間上的無界函數
若函數 在區間[ )上連續且可導，並有（或），則至少存在一個，使得。
證明
這裡僅選擇特殊情況（2）、（3）加以證明，其餘證明的思路大致類似。
定理 若函數 在區間 上連續且可導，並有。則至少存在一個，使得。
證明：至少可取到一點，使，否則 恆等於，對於任意的實數，都有。
不妨設，取，顯然。根據極限定義，由可得
，當 時，有， ， ，
任取，則有， 。
利用，類似地可知存在，使。
定理 若函數 在區間 上連續且可導，並有。則至少存在一個，使得。
證明：任取，因為，所以至少存在一點，使。
類似地由 可知存在一點，使。
這就有了 且，
於是，在閉區間 上連續，則在閉區間 上必有 的最小值點，由於閉區間 的兩個端點都不可能是 的最小值點，由此可知，根據費馬定理可知。
用羅爾中值定理證明：方程
3在 (0,1) 內有實根。
證明：設
則 F(x) 在 [0,1] 上連續，在 (0,1) 內可導，，
所以由羅爾中值定理，至少存在一點，使得，
所以，
所以ξ是方程在 (0,1) 內的一個實根。
結論得證。
