差分

差分的結果反映了離散量之間的一種變化，是研究離散數學的一種工具，常用函數差近似導數。

差分：difference

差分，又名差分函數或差分運算，是數學中的一個概念。它將原函數f(x)映射到f(x+a)-f(x+b)。差分運算，相應於微分運算，是微積分中重要的一個概念。差分的定義分為前向差分和逆向差分兩種。

在社會經濟活動與自然科學研究中，我們經常遇到與時間t有關的變數,而人們往往又只能觀察或記錄到這些變數在離散的t時的值。對於這類變數，如何去研究它們的相互關係，就離不開差分與差分方程的工具。微積分中的微分與微分方程的工具，事實上來源於差分與差分方程。因此差分與差分方程更是原始的客觀的生動的材料。

讀者熟悉等差數列：a1a2a3……an……，其中an+1=an+d（n=1,2,…n）d為常數，稱為公差，即d=an+1-an,這就是一個差分，通常用D(an)=an+1-an來表示，於是有D(an)=d,這是一個最簡單形式的差分方程。

定義。設變數y依賴於自變數t,當t變到t+1時，因變數y=y(t)的改變數Dy(t)=y(t+1)-y(t)稱為函數y(t)在點t處步長為1的(一階)差分，常記作Dyt=yt+1-yt,簡稱為函數y(t)的(一階)差分，並稱D為差分運算元。

差分具有類似於微分的運算性質。

函數的前向差分通常簡稱為函數的差分。對於函數f(x)，如果在等距節點：

則稱Δf(x)，函數在每個小區間上的增量y(k+1)-yk為f(x)的一階前向差分。在微積分學中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在離散的函數中的等效運算。差分方程的解法也與微分方程的解法相似。當是多項式時，前向差分為Delta運算元，一種線性運算元。前向差分會將多項式階數降低1。

對於函數f(xk)，一階逆向差分為Δf(xk)=f(xk)−f(xk−1)。

備註：差分方程：difference equations

稱為階的差分，即前向階差分，如果數學運用根據數學歸納法，有其中，為二項式係數。特別的，有前向差分有時候也稱作數列的二項式變換

首先我們來看在“無限演算”中所使用的

Df(x)=Limit[f(x+h)-f(x),h->0]

這是定義微分運算元D的性質。“有限演算”基於由

Δf(x)=f(x+1）-f(x)

定義在差分運算元Δ的性質上。

差分與微分有許多類似的性質（事實上微分可認為是差分的極限），對於冪函數的微分有

D(x^m)=m*x^(m-1）dx

我們尋找一種類似的差分性質：

設：

Mi(x,m)=x(x-1）（x-2）…（x-m+1），整數m>0

Mi(x,m)=x/((x+0)(x+1）（x+2）…（x+m）），整數m≤0

那麼

ΔMi(x,m)=m*Mi(x,m-1）.

定義了差分，那麼就有其逆運算元，我們稱之為逆差分：

g(x)=Σf(x)+C

Σ為逆差分運算元，g(x)為f(x)的逆差分，C是在x,x+1,x+2……上為任意常數的函數，我們可以使用逆差分來進行求和運算：

Sum[f(x),{x,m,n-1}](Mathematica語法）

=Sum[g(x+1）-g(x),{x,m,n-1}]

=g(n)-g(m)

註：Sum即Σ逆差分運算元。

這裡我們可以求出一些函數的逆差分：

ΣMi(x,m)=Mi(x,m+1）/(m+1）+C,

Σ1/x=H(x-1）+C,H(x)=1+1/2+1/3+…+1/x,

Σ2^x=2^x+C,

Σ1=x+C

例求：

Sum[x^2,{x,0,n}](Mathematica語法）

=Sum[Mi(x,2）+Mi(x,1），{x,0,n}]

=Sum[Mi(x,2），{x,0,n}]+Sum[Mi(x,1），{x,0,n}]

=(Mi(n+1,3）-Mi(0,3））/3+(Mi(n+1,2）-Mi(0,2））/2

=n（1+n）（1+2n)/6

因為：

Δ（u(x)*v(x))

=u(x+1）*v(x+1）-u(x)*v(x)

=u(x+1）*v(x+1）-u(x+1）*v(x)+u(x+1）*v(x)-u(x)*v(x)

=u(x+1）*Δv(x)+v(x)*Δu(x)

所以：

v(x)*Δu(x)=Δ（u(x)*v(x))-u(x+1）*Δv(x)

所以：

Σv(x)*Δu(x)=u(x)*v(x)-Σu(x+1）*Δv(x)

例求：

Σx*H(x)

=ΣH(x）ΔMi(x,2）/2

=H(x)*Mi(x,2）/2-ΣMi(x+1,2）/2*ΔH(x)

=H(x)*Mi(x,2）/2-ΣMi(x+1,2）/2*1/(x+1）

=H(x)*Mi(x,2）/2-Σx/2

=H(x)*Mi(x,2）/2-Mi(x,2）/4+C

差分方程是微分方程的離散化。一個微分方程不一定可以解出精確的解，把它變成差分方程，就可以求出近似的解來。比如dy+y*dx=0,y(0)=1是一個微分方程，x取值[0,1] （註：解為y(x)=e^(-x))要實現微分方程的離散化，可以把x的區間分割為許多小區間[0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1）/n,1]這樣上述微分方程可以離散化為：y((k+1）/n)-y(k/n)+y(k/n)*（1/n)=0，k=0,1,2,...,n-1（n個離散方程組）利用y(0)=1的條件，以及上面的差分方程，就可以計算出y(k/n)的近似值了。