等差數列

對於數列{ }，若滿足：

則稱該數列為等差數列。其中，公差d為一常數，n為正整數。

等差數列通項公式通過定義式疊加而來。

如果一個等差數列的首項為a1，公差為d，那麼該等差數列第n項的表達式為：

或：

等差數列遵守 的形式，可規定，若b為數列的0項，則記為a0，k為數列的公差，記為d，y為通項公式，記為an，則：

對應的求和數列為： ，其中 正整數。

若一個等差數列的首項為a1，末項為an那麼該等差數列和表達式為：

即（首項+末項）×項數÷2。

注意：n是正整數（相當於n個等差中項之和）。等差數列前N項求和，實際就是梯形公式的妙用：上底為a1首項，下底為a1+(n-1)d，高為n。即：[a1+a1+(n-1)d]* n/2={2a1 n+ n (n-1)d} /2，也可寫成：

（1）從通項公式可以看出，a(n)是n的一次函數(d≠0)或常數函數(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項和公式知，S(n)是n的二次函數(d≠0)或一次函數(d=0，a1≠0)，且常數項為0。

（2）從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。

（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差數列，等等。若m+n=2p，則a(m)+a(n)=2*a(p)。

證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)；p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因為m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p。

（4）其他推論：

① 和=（首項+末項）×項數÷2；

②項數=（末項-首項）÷公差+1；

③首項=2x和÷項數-末項或末項-公差×（項數-1）；

④末項=2x和÷項數-首項；

⑤末項=首項+（項數-1）×公差；

⑥2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和。

等差中項即等差數列頭尾兩項的和的一半，但求等差中項不一定要知道頭尾兩項。等差數列中，等差中項一般設為A(r)。當A(m),A(r),A(n)成等差數列時，A(m)+A(n)=2×A(r)，所以A(r)為A(m)、A(n)的等差中項，且為數列的平均數。並且可以推知n+m=2×r，且任意兩項a(m)、a(n)的關係為：a(n)=a(m)+(n-m)*d，(類似p(n)=p(m)+(n-m)*b(1)，相當容易證明，它可以看作等差數列廣義的通項公式。

等差數列的應用日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種產品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。若為等差數列，且有a(n)=m,a(m)=n。則a(m+n)=0。

其實，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經》提到等差數列了：今有女子不善織布，逐日所織的布以同數遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何？書中的解法是：並初、末日織布數，半之，余以乘織訖日數，即得。這相當於給出了S(n)=(a(1)+a(n))/2*n的求和公式。

（1）數列為等差數列的重要條件是：數列的前n項和S 可以寫成S = + 的形式(其中a、b為常數)。

（2）在等差數列中，當項數為2n (n∈ N+)時，S偶－S奇 = nd，S奇÷S偶= ；當項數為(2n－1）(n∈正整數)時，S奇-S偶=a（中），S奇-S偶= （中） ，S奇÷S偶 =n÷（n-1）。（3）若數列為等差數列，則， ， ，…仍然成等差數列，公差為。

（4）若數列{an}與{bn}均為等差數列，且前n項和分別是Sn和Tn，則 = 。

（5）在等差數列中，S = a，S = b (n>m)，則S = (a－b)。

（6）記等差數列的前n項和為S。①若a >0，公差d<0，則當a ≥0且an+1≤0時，S 最大；②若a <0 ，公差d>0，則當a ≤0且an+1≥0時，S 最小。

（7）若等差數列S(p)=q,S(q)=p，則S(p+q)=-(p+q)。

（1）a(n+1)--a(n)=d (d為常數、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數]等價於{a(n)}成等差數列。

（2）2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價於{a(n)}成等差數列。

（3）a(n)=kn+b [k、b為常數,n∈N*] 等價於{a(n)}成等差數列。

（4）S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數，A不為0，n ∈N* ]等價於{a(n)}為等差數列。

在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和；特別的，若項數為奇數，還等於中間項的2倍,

即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

例：數列：1，3，5，7，9，11中a(1)+a(6)=12 ; a(2)+a(5)=12 ; a(3)+a(4)=12 ; 即，在有窮等差數列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。並且等於首末兩項之和。

數列：1，3，5，7，9中a(1)+a(5)=10 ; a(2)+a(4)=10 ; a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ; 即，若項數為奇數，和等於中間項的2倍，另見，等差中項。

在等差數列 中，

(1)已知，求 與d；

(2)已知，求。

解答：