狄拉克δ函數

物理學中常常要研究一個物理量在空間或時間中分佈的密度，例如質量密度、電荷密度、每單位時間傳遞的動量（即力）等等，但是物理學中又常用到質點、點電荷、瞬時力等抽象模型，他們不是連續分佈於空間或時間中，而是集中在空間中的某一點或者時間中的某一瞬時，那麼它們的密度應該如何表示呢？

為了在數學上理想地表示出這種密度分佈，引入了δ函數的概念。用數學表示為：

上述表達式不規定δ函數在0點的取值，是因為這個值無法嚴謹地表述出來，不能籠統的定義為正無窮，並且函數取值的“大小”是由第二個積分式決定的，因此只需限定取值為零的區域即可。如果函數不在0點取非零值，而在其他地方，可定義

其中H(x)稱為階躍函數或亥維賽單位函數：

可以證明兩種定義是等價的。從第二個定義中，可以看到δ函數可以通過對階躍函數取微分得到，實際上，只要我們對一個不連續函數取微分，就會出現δ函數。

嚴格來說δ函數不能算是一個函數，因為滿足以上條件的函數是不存在的。數學上，人們為這類函數引入了廣義函數的概念，在廣義函數的理論中， δ函數的確切意義應該是在積分意義下來理解。在實際應用中， δ函數總是伴隨著積分一起出現。δ分佈在偏微分方程、數學物理方法、傅立葉分析和概率論里都有很重要的應用。

一些函數可以認為是狄拉克δ函數的近似，但是要注意，這些函數都 是通過極限構造的，因此嚴格上都不是狄拉克δ函數本身，不過在一些數學計算中可以作為狄拉克δ函數進行計算。

狄拉克δ函數有以下性質，在理解這些性質的時候，應該認為等式兩邊分別作為被積函數的因子時得到的結果相等。

偶函數，其導數是奇函數

放縮（或相似性）

這種性質稱為挑選性，它將 在 點的值 挑選出來

上述性質則可看成適用於高階導數的挑選性。

如果方程 的實根 全是單根，則

該等式的含義為，若將δ函數作用在一個函數上，則會把函數的實根挑選出來，其左邊表示在函數 為零時會取非零值，右邊表示在 處，會取得非零值，並且取值“大小”，或者說在積分中的作用大小與δ函數的比值是函數在 處導數的絕對值的倒數。通過這一性質可以得到一些具體的等式，如

以及

這個性質說明δ函數與x的乘積在積分中與0的作用是相同的。

方程 表明，當我們用x去除方程的兩邊，並且x可以取為零時，我們應該在其中一邊加上δ函數的某個倍數，即我們從方程

不能推斷出

只能推斷出

研究函數 的微分，一般的公式是

為了使導函數在 附近是有明確定義（非正常函數的意義）的，通常會對它加上一個附加條件，即它從 到 的積分為0，而上式中 從 到 的積分為零，從 到 的積分卻是，因此上式就不是一個正確的等式了，為了改正它，需要增加一個修正項，我們注意到 在 的負值處有一個虛數項，這個項在0附近有一個突變，對它微分會產生一個 函數，那麼等式變成

徠δ函數的傅里葉變換是，

根據δ函數的定義，δ函數並不是通常意義下的一般函數，應當看作一種函數列的極限或者泛函，因此δ函數的傅里葉積分也不是通常意義的傅里葉積分而是一種廣義的傅里葉積分。

可見，δ函數與常數1是一對傅立葉變換的共軛函數。

δ函數的傅里葉逆變換是:

在多維空間中的δ函數定義如下

例如在三維空間中，三維δ函數可表示為三個一維δ函數乘積表示，在直角坐標系中

在極坐標系中

在球坐標系中

多維的δ函數主要性質

δ函數可以表示如下：

點電荷等抽象模型的密度分佈可以表示為

一組點電荷的電荷密度可以表示為

不僅可以用δ函數表示點電荷的密度分佈，還可以表示圓柱、球殼上的電荷密度。例如，在電荷q均勻分佈在半徑為a的球上，在球坐標系中其電荷密度為

在半徑為b的圓柱上均勻分佈的電荷單位長度的電荷為，在柱坐標系中其電荷密度為

電學的高斯定理微分形式為

電場強度為

因此位矢的微分可以表示成

也可代入電荷密度的表達式直接得到。

在結構力學中，δ函數可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在時突然受到衝量為I的力的衝擊，其演變可以如下描述：

其中m是質量，ξ是撓度，而k是彈簧常數。

在測度論中，與δ函數相應的有δ測度，其定義如下

設X是一個非空集，任意選取元素，對任意集合，定義 其中 為集合A的特徵函數，定義為

稱 為元素x處的δ測度。

Lebesgue-Stieltjes測度定義為：設F(x)是實數R上單增右連續的函數，對於區間[a,b)，定義 為(R,F)上的Lebesgue-Stieltjes測度，記為。

則δ測度可表示為階躍函數 的Lebesgue-Stieltjes測度，即

記 為n點（n為整數）處的δ測度，則 恰是整數集N上的計數測度。