伊藤積分
伊藤積分
在統計物理中的郎之萬方程，應該是隨機微分方程，而且不是普通意義下的隨機微分方程
代表布朗粒子所受到的隨機力，它被視為一個白噪音過程。由於白噪音不是一個普通的隨機過程，所以，朗之萬方程的嚴格數學表達遇到了困難。
更一般地，考慮方程
其中 與 是兩個確定性函數， ，是 維白噪音過程。由於 不是普通隨機過程，故上式雖然是有重要實際意義的，但卻沒有嚴格的數學意義。
注意到白噪音過程是作為 過程的導過層是引入的，因而上式在形式上等價於方程
是 過程。
上式比較容易賦以嚴格的定義，只須對其右端第二個積分加以解釋罷了。我們可以把第二個積分理解為斯蒂爾吉斯均方積分
不幸的是，等式右端的極限差不多總是不存在的。伊藤解決了這一困難，他把 點的取法作了限制，永遠取子區間的左端點
這樣規定的積分，就是有名的伊藤積分。
定義：設，是隨機過程，對 區間取一劃分
求和,若無限分細時，此和式有唯一的均方極限，則稱該極限為 在 上的伊藤積分，記作
定理：若在上連續，對任意，都有與獨立，則存在。
定理：設與是兩個實函數，滿足
（1）都在上連續，且對每一，關於一致連續。
（2），，其中為一常數。
（3）李普西茲條件：，，又設與任意獨立，則伊藤方程有唯一確定的解。
定理：設與任意獨立，則伊藤方程的解是一個馬爾科夫過程。
基本信息
- 外文名
- Ito stochastic integral
- 定義
- 一種隨機積分
- 應用學科
- 數學術語