相關係數

研究變數之間線性相關程度的量

相關係數是最早由統計學家卡爾·皮爾遜設計的統計指標,是研究變數之間線性相關程度的量,一般用字母 r 表示。由於研究對象的不同,相關係數有多種定義方式,較為常用的是皮爾遜相關係數。

相關表和相關圖可反映兩個變數之間的相互關係及其相關方向,但無法確切地表明兩個變數之間相關的程度。相關係數是用以反映變數之間相關關係密切程度的統計指標。相關係數是按積差方法計算,同樣以兩變數與各自平均值的離差為基礎,通過兩個離差相乘來反映兩變數之間相關程度;著重研究線性的單相關係數。

需要說明的是,皮爾遜相關係數並不是唯一的相關係數,但是最常見的相關係數,以下解釋都是針對皮爾遜相關係數。

徠依據相關現象之間的不同特徵,其統計指標的名稱有所不同。如將反映兩變數間線性相關關係的統計指標稱為相關係數(相關係數的平方稱為判定係數);將反映兩變數間曲線相關關係的統計指標稱為非線性相關係數、非線性判定係數;將反映多元線性相關關係的統計指標稱為復相關係數、復判定係數等。

定義


相關關係是一種非確定性的關係,相關係數是研究變數之間線性相關程度的量。由於研究對象的不同,相關係數有如下幾種定義方式。
簡單相關係數:又叫相關係數或線性相關係數,一般用字母r 表示,用來度量兩個變數間的線性關係
定義式
其中,Cov(X,Y)為X與Y的協方差,Var[X]為X的方差,Var[Y]為Y的方差
復相關係數:又叫多重相關係數。復相關是指因變數與多個自變數之間的相關關係。例如,某種商品的季節性需求量與其價格水平、職工收入水平等現象之間呈現復相關關係。
典型相關係數:是先對原來各組變數進行主成分分析,得到新的線性關係的綜合指標,再通過綜合指標之間的線性相關係數來研究原各組變數間相關關係。

性質


這裡, ,是一個可以表徵 和 之間線性關係緊密程度的量。它具有兩個性質:
(1)
(2)的充要條件是,存在常數a,b,使得
由性質衍生:
a. 相關係數定量地刻畫了 X 和 Y的相關程度,即 越大,相關程度越大;對應相關程度最低;
b. X 和Y 完全相關的含義是在概率為1的意義下存在線性關係,於是 是一個可以表徵X 和Y 之間線性關係緊密程度的量。當 較大時,通常說X 和Y相關程度較好;當 較小時,通常說X 和Y相關程度較差;當X和Y不相關,通常認為X和Y之間不存在線性關係,但並不能排除X和Y之間可能存在其他關係。

不相關和獨立


若X和Y不相關, ,通常認為X和Y之間不存在線性關係,但並不能排除X和Y之間可能存在其他關係;若,則X和Y不相關。
若X和Y獨立,則必有,因而X和Y不相關;若X和Y不相關,則僅僅是不存在線性關係,可能存在其他關係,如,X和Y不獨立。
因此,“不相關”是一個比“獨立”要弱的概念。

生活示例


軟體公司在全國有許多代理商,為研究它的財務軟體產品的廣告投入與銷售額的關係,統計人員隨機選擇10家代理商進行觀察,搜集到年廣告投入費和月平均銷售額的數據,並編製成相關表,見表1:
表1 廣告費與月平均銷售額相關表 單位:萬元
年廣告費投入月均銷售額
12.5
參照表1,可計算相關係數如表2:
序號
廣告投入(萬元)
x
月均銷售額(萬元)
y
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12.5
15.3
23.2
26.4
33.5
34.4
39.4
45.2
55.4
60.9
21.2
23.9
32.9
34.1
42.5
43.2
49.0
52.8
59.4
63.5
156.25
234.09
538.24
696.96
1122.25
1183.36
1552.36
2043.04
3069.16
3708.81
449.44
571.21
1082.41
1162.81
1806.25
1866.24
2401.00
2787.84
3528.36
4032.25
265.00
365.67
763.28
900.24
1423.75
1486.08
1930.60
2386.56
3290.76
3867.15
合計346.2422.514304.5219687.8116679.09
相關係數為0.9942,說明廣告投入費與月平均銷售額之間有高度的線性正相關關係。

應用


概率論

【例】若將一枚硬幣拋n次,X表示n次試驗中出現正面的次數,Y表示n次試驗中出現反面的次數。計算。
解:由於,則,根據相關係數的性質推論,得。

企業物流

【例】一種新產品上市。在上市之前,公司的物流部需把新產品合理分配到全國的10個倉庫,新品上市一個月後,要評估實際分配方案與之前考慮的其他分配方案中,是實際分配方案好還是其中尚未使用的分配方案更好,通過這樣的評估,可以在下一次的新產品上市使用更準確的產品分配方案,以避免由於分配而產生的積壓和斷貨。表1是根據實際數據所列的數表。
通過計算,很容易得出這3個分配方案中,B的相關係數是最大的,這樣就評估到B的分配方案比實際分配方案A更好,在下一次的新產品上市分配計劃中,就可以考慮用B這種分配方法來計算實際分配方案。

聚類分析

【例】如果有若干個樣品,每個樣品有n個特徵,則相關係數可以表示兩個樣品間的相似程度。藉此,可以對樣品的親疏遠近進行距離聚類。例如9個小麥品種(分別用表示)的6個性狀資料見表2,作相關係數計算並檢驗。
由相關係數計算公式可計算出6個性狀間的相關係數,分析及檢驗結果見表3。由表3可以看出,冬季分櫱與每穗粒數之間呈現負相關(),即麥冬季分櫱越多,那麼每穗的小麥粒數越少,其他性狀之間的關係不顯著。

缺點


需要指出的是,相關係數有一個明顯的缺點,即它接近於1的程度與數據組數n相關,這容易給人一種假象。因為,當n較小時,相關係數的波動較大,對有些樣本相關係數的絕對值易接近於1;當n較大時,相關係數的絕對值容易偏小。特別是當n=2時,相關係數的絕對值總為1。因此在樣本容量n較小時,我們僅憑相關係數較大就判定變數x與y之間有密切的線性關係是不妥當的。