概率母函數

如果X是在非負整數域{0，1， ...}上取值的離散隨機變數，那麼X的概率母函數定義為：

其中p是X的概率質量函數。

如果是在d-非負整數格{0，1， ...}上取值的離散隨機變數，那麼X的概率母函數定義為：其中p是X的概率質量函數。

概率母函數服從冪級數的所有非負係數的規則。特別地， ，其中，因為概率必須總和為1。所以任何概率母函數的收斂半徑必須至少為1，通過具有非負係數的冪級數的Abel定理來證明。

以下性質是與X有關的各種基本量的推導：

1、X的概率質量函數通過取G的導數來恢復，

2、概率密度函數的歸一化可以用母函數來表示：

該預期的X由下式給出：

所以，X的方差由下式給出：

概率母函數對於處理獨立隨機變數的函數特別有用。例如：

如果是一系列獨立的（不一定是相同分佈的）隨機變數，並且其中是常數，則概率母函數由下式給出：

例如，如果那麼，概率母函數由下式給出：

也就是說，兩個獨立隨機變數的差的概率母函數是：

1.一個常數隨機變數（即）的概率母函數是：

2.一個的概率母函數二項式隨機變數，在成功的次數Ñ試驗中，概率p是每次試驗成功的概率，概率母函數是：

注意，這是具有參數p的伯努利隨機變數的概率母函數的n倍乘積。

所以，擲硬幣時間的概率母函數是：

3.一個概率母函數的負二項隨機變數在{0，1，2 ...}中，每次試驗的成功概率p，概率母函數是：

概率母函數是一個的例子母函數的序列組成：也見形式冪級數。這與概率質量函數的z變換等效，有時稱為z變換。

其他隨機變數的母函數包括矩母函數、特徵函數和累積量母函數。